[Toán 9] Bất đẳng thức Cauchy

[vansang02121998]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1: Cho $a;b;c>0; c \le 1; \dfrac{b}{2}+c \le 2; \dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2}+c \le 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

Câu 2: Cho $x;y;z >0; xyz=1$. Chứng minh

$\dfrac{1}{x^2+2y^2+3}+\dfrac{1}{y^2+2z^2+3}+\dfrac{1}{z^2+2x^2+3} \le \dfrac{1}{2}$

Câu 3: Cho $a;b;c > 0; abc=1$. Chứng minh

$\dfrac{1}{a^3+b^3+1}+\dfrac{1}{b^3+c^3+1}+\dfrac{1}{c^3+a^3+1} \le 1$

Câu 4: Cho $x;y \ne 0$ thỏa mãn $xy(x+y)=x^2-xy+y^2$. Tìm giá trị lớn nhất của $\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}$

 

[noinhobinhyen]

Câu 3 :

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \geq ab(a+b)$

$\Rightarrow a^3+b^3+1=a^3+b^3+abc \geq ab(a+b+c)$

$\dfrac{1}{a^3+b^3+1}+\dfrac{1}{b^3+c^3+1}+\dfrac{ 1}{c^3+a^3+1}$

$\leq \dfrac{1}{ab(a+b+c)}+\dfrac{1}{bc(a+b+c)}+\dfrac{1}{ac(a+b+c)}$

$\leq \dfrac{a+b+c}{abc(a+b+c)} = \dfrac{1}{abc} \leq 1$

 

[1280n36]

Câu 1:

Bài làm:

c \leq 1 \Rightarrow \frac{1}{c}
\geq 1 \frac {b}{2} + c \leq2 \Leftrightarrow \frac{b}{2} \leq 1 \Rightarrow b \leq \frac{1}{2}

\Rightarrow \frac{1}{b} \geq 2

\frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c \leq3 \Leftrightarrow \frac{a}{3} + \frac{\frac{1}{2}}{2}+1 \leq 3

\Rightarrow \frac{a}{3} \leq \frac{7}{4} \Rightarrow a \leq \frac {21}{4} \Rightarrow \frac{1}{a}
\geq \frac{4}{21}

\Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 1 + 2 + \frac{4}{21}

\Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{67}{21}

máy tớ bị lỗi sửa hộ với nha

 

[1280n36]

\dfrac{1}{9}