[Toán 9] Bất đẳng thức Bunhiacopxki

[vansang02121998]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $x;y;z >0$, chứng minh

$\dfrac{xyz(x+y+z+\sqrt{x^2+y^2+z^2})}{(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+xz)} \le \dfrac{3+\sqrt{3}}{9}$

 

[vngocvien97]

Lỗi Latex

VT \Leftrightarrow $\dfrac{xyz(x+y+z)}{(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)}+ \dfrac{xyz.\sqrt[]{x^2+y^2+z^2}}{(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)}$
Mà $(x+y+z) \le \sqrt[]{3(x^2+y^2+z^2)}$
\Rightarrow VT \leq $\dfrac{xyz\sqrt[]{3(x^2+y^2+z^2)}}{(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)}+\dfrac{xyz}{(xy+yz+zx)\sqrt[]{x^2+y^2+z^2)}}$
\Leftrightarrow $\dfrac{xyz\sqrt[]{3}+xyz}{\sqrt[]{x^2+y^2+z^2}(xy+yz+zx)}$
Theo bất đẳng thức cô-si:
$\sqrt[]{x^2+y^2+z^2} \ge \sqrt[]{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}$
$xy+yz+zx \ge 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.