[Toán 9] Bất đẳng thức AM - GM

0

0973573959thuy

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Chứng minh $\dfrac{-1}{2} \le \dfrac{(a + b)(1 - ab)}{(1 + a^2)(1 + b^2)} \le \dfrac{1}{2}$

Yêu cầu sử dụng bđt Cauchy

Bài 2: Cho $a \ge 3; b \ge 4; c \ge 2$

Tìm $Max S = \dfrac{ab\sqrt{c - 2} + bc\sqrt{a - 3} + ca\sqrt{b - 4}}{2\sqrt{2}}$

Bài này tớ nghĩ sai đề. Theo tớ thì mẫu nó không phải là $2\sqrt{2}$ mà là $abc$

Nhưng mà các bạn thử làm theo đề kia xem có ra max không :D

Bài 3: Cho x,y,z > 0. Tìm $Min f(x;y;z) = \dfrac{(x + y + z)^6}{xy^2z^3}$

Tớ định nhân thêm hằng số vào mẫu rồi đánh giá mẫu nhỏ hơn hơn bằng gì đó. Các bạn thử làm giúp tớ :D
Bài 4: Chứng minh rằng: $S = 1 + \sqrt{\dfrac{2 + 1}{2}} + \sqrt[3]{\dfrac{3 + 1}{3}} + ... + \sqrt[n]{\dfrac{n + 1}{n}} < n + 1$

Có hướng dẫn CMR $\sqrt[n]{\dfrac{n + 1}{n}} < 1 + \dfrac{1}{k^2}$

Bài 4: Cho $a,b,c > 0; a + b + c \le 1$
CMR : $\dfrac{1}{a^2 + 2bc} + \dfrac{1}{b^2 + 2ac} + \dfrac{1}{c^2 + 2ab} \ge 9$

Bài này tớ nghĩ nó cũng sai đề =)) Đề đúng thì theo tớ là cần cho a + b + c = 1
Lúc đó nhân 2 vế bđt với $(a + b + c)^2$ là ra, nhưng mà các bạn làm theo đề trên thử nó có ra không :D
Bài 5: Cho tam giác ABC, M thuộc miền trong tam giác. Gọi MA; MB; MC thứ tự giao với BC; AC; AB tại D; E; F. Chứng minh:

$a) \dfrac{MD}{DA} + \dfrac{ME}{EB} + \dfrac{MF}{FC} = 1$

$b) \dfrac{MA}{DA} + \dfrac{MB}{EB} + \dfrac{MC}{FC} = 2$

$c) \dfrac{MA}{MD} + \dfrac{MB}{ME} + \dfrac{MC}{MF} \ge 6$

$d) \dfrac{MA}{MD}.\dfrac{MB}{ME}. \dfrac{MC}{MF} \ge 8$

$e) \dfrac{DA}{MA} + \dfrac{EB}{MB} + \dfrac{FC}{MC} \ge 9/2$

$f) \dfrac{MD}{MA} + \dfrac{ME}{MB} + \dfrac{MF}{MC} \ge 3/2$
 
T

transformers123

0973573959thuy said:



Bài 4: Cho $a,b,c > 0; a + b + c \le 1$
CMR : $\dfrac{1}{a^2 + 2bc} + \dfrac{1}{b^2 + 2ac} + \dfrac{1}{c^2 + 2ab} \ge 9$

Bài này tớ nghĩ nó cũng sai đề =)) Đề đúng thì theo tớ là cần cho a + b + c = 1
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
câu dễ trước=))
ta có:
$\sum \dfrac{1}{a^2+2ab} \ge \dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\dfrac{9}{(a+b+c)^2} \ge 9$
dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{3}$
 
H

huynhbachkhoa23

Câu 1 được sử dụng lượng giác thì sướng biết mấy =))

Bài 3:

Chuẩn hoá $x+y+z=10$

$f(x;y;z)=\dfrac{1000000}{xy^2z^3}$

Có $10=x+\dfrac{y}{2}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}+ \dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3} \ge 6\sqrt[6]{\dfrac{xy^2z^3}{108}}$

Đến đây dễ rồi =))

Nhân nhầm rồi bác

Ờ để sửa lại =))
 
Last edited by a moderator:
C

congchuaanhsang

Ầy cái bác khoa này :|

Bài 1: Chứng minh $\dfrac{-1}{2} \le \dfrac{(a + b)(1 - ab)}{(1 + a^2)(1 + b^2)} \le \dfrac{1}{2}$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

$|\dfrac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^2)(1+b^2)}|=|\dfrac{(a+b)(1-ab)}{1+a^2b^2+a^2+b^2}|$

$=|\dfrac{(a+b)(1-ab)}{(a+b)^2+(1-ab)^2}|$ \leq $\dfrac{1}{2}$

(do $x^2+y^2$ \geq $2|xy|$ )

\Rightarrow đpcm
 
H

huynhbachkhoa23

Bài 1:

Đặt $a=\tan \alpha; b=\tan \beta$

Có $VG=...=...=\dfrac{1}{2}\sin[2(\alpha + \beta)]$

Suy ra được điều cần chứng minh =))
 
H

huynhbachkhoa23

Có $\sqrt[n]{1+\dfrac{1}{n}} < 1+\dfrac{1}{n^2}$

Lặp hàm: $VT < n+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{n^2}<n+1$
 
H

huynhbachkhoa23

Bài 5:

Trình bày theo $|\Delta ABC|=S_{ABC}$

a) $VT=\dfrac{|\Delta MBC|+|\Delta MCA|+|\Delta MAB|}{|\Delta ABC|}=1$

b) $VT=3-\dfrac{|\Delta MBC|+|\Delta MCA|+|\Delta MAB|}{|\Delta ABC|}=2$

c) $S_{D}=|\Delta MBC|; S_{E}=|\Delta MCA|; S_{F}=|\Delta MAB|$

$VT = (\dfrac{S_{D}}{S_{E}}+\dfrac{S_{E}}{S_{D}})+ ( \dfrac{S_{E}}{S_{F}}+\dfrac{S_{F}}{S_{E}})+(\dfrac{S_{F}}{S_{D}}+\dfrac{S_{D}}{S_{F}}) \ge 6$

Dấu bằng xảy ra khi $M$ là trọng tâm.

d) Chứng minh tương tự câu c) $VT=\dfrac{(S_{D}+S_{E})(S_{E}+S_{F})(S_{F}+S_{D})}{S_{D}.S_{E}.S_{F}} \ge 8$

Dấu bằng khi $M$ là trọng tâm.

e) f) Tương tự:
 
T

trantien.hocmai

$\text{câu 1 cái này em có thể tham khảo nhá} \\
\text{sử dụng phương pháp lượng giác hoá đề mà giải} \\
\text{đặt }a=tanx, b=tany \text{ ta được} \\
|\frac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^2)(1+b^2)}|=|\frac{(tanx+tany)(1-tanx.tany)}{(1+tan^2x)(1+tan^2y)}| \\
=|\frac{\frac{sin(x+y)}{cosx.cosy}.\frac{cos(x+y)}{cosx.cosy}}{\frac{1}{cos^2x}.\frac{1}{cos^2y}}| \\
=\frac{1}{2}.|sin2(x+y)| \le \frac{1}{2} \text{ đpcm}$
 
R

ronaldover7

0973573959thuy said:


Bài 2: Cho $a \ge 3; b \ge 4; c \ge 2$

Tìm $Max S = \dfrac{ab\sqrt{c - 2} + bc\sqrt{a - 3} + ca\sqrt{b - 4}}{2\sqrt{2}}$

Bài này tớ nghĩ sai đề. Theo tớ thì mẫu nó không phải là $2\sqrt{2}$ mà là $abc$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

CÁi này mình nghĩ nó không phải là $2\sqrt{2}$ mà là $abc$,vì cái tử nó đâu phụ thuộc gì ở cái mẫu a,b,c càng lớn thì $ \dfrac{ab\sqrt{c - 2} + bc\sqrt{a - 3} + ca\sqrt{b - 4}}{2\sqrt{2}}$ càng lớn thôi chứ ko thấy max
(*) Nếu mẫu là abc thì chắc là vậy
$ \dfrac{ab\sqrt{c - 2} + bc\sqrt{a - 3} + ca\sqrt{b - 4}}{abc}$
=$\frac{\sqrt{c - 2}}{c}+\frac{\sqrt{a-3}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}$
Ta có:$2\sqrt{2(c - 2)} $\leq$ c-2+2=c$
\Rightarrow $\frac{\sqrt{c - 2}}{c}$ \leq $\frac{1}{2\sqrt{2}}$
CMTT mấy cái còn lại
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom