[Toán 9] Bài toán có chứa 2011 dấu căn

[dien_loan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài toán có chứa 2011 dấu căn
Xin giúp mình với. Đã suy nghĩ muốn vỡ óc mà vẫn không có cách giải quyết. Bài toán thế này:
Chứng minh:

[tex]\frac{3 - \sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+....+\sqrt{3}}}}}}{6 - \sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+....+\sqrt{3}}}}}}[/tex]

tử số có 2011 dấu căn
mẫu số có 2010 dấu căn
chứng minh phân số trên < 1/5
Thanks các bạn

 

[tanngoclai]

Bài toán có chứa 2011 dấu căn

Chứng minh:

[tex]P = \frac{3 - \sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+....+\sqrt{3}}}}}}{6 - \sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+....+\sqrt{3}}}}}}[/tex]

tử số có 2011 dấu căn
mẫu số có 2010 dấu căn
chứng minh phân số trên < 1/5

Ta có : $ A = \sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3}}} < \sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+....+\sqrt{3}}}}}$

$ \to P < \dfrac{3- \sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3}}}}{6- \sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3}}}} < \dfrac{1}{5}$ ( Đoạn này dùng máy tính =)) )

 

[pe_lun_hp]

Bài toán có chứa 2011 dấu căn
Xin giúp mình với. Đã suy nghĩ muốn vỡ óc mà vẫn không có cách giải quyết. Bài toán thế này:
Chứng minh:

[tex]\frac{3 - \sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+....+\sqrt{3}}}}}}{6 - \sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+....+\sqrt{3}}}}}}[/tex]

tử số có 2011 dấu căn
mẫu số có 2010 dấu căn
chứng minh phân số trên < 1/5
Thanks các bạn

Thứ nhất đây là dạng toán phần nguyên nó tổng quát cho n dấu căn. Đề bài đánh lửa ở chỗ 2011 với 2010. Người giải bài ko cần quan tâm nó có mấy dấu :3 Nhiêu dấu nó cũng vẫn là nó mà thôi nhá . Bài tập này chị sẽ đưa luôn dạng giải tổng quát đề lần sau bài có biến tấu bắt thì phần chém bt.

Ta chứng minh được rằng với $a \geq 0 $ thì ta có điều sau:

$\begin{matrix} \underbrace{\sqrt{a+\sqrt{a...+\sqrt{a + \sqrt{a}}}} } \\ \text{n dấu căn} \end{matrix} < \dfrac{1+\sqrt{4a+1}}{2} \ \ \ \ (1)$

Nên nhớ ta là người chứng minh chứ ko phải ngta nên khi giải bài toán phải CM cái CT này đúng rồi mới áp vào :3.

Cách CM:

Ta có :

$a_1 = \sqrt{a}$

$a_2=\sqrt{a+a_1}$

...

$a_n = \sqrt{a+a_{n-1}}$

Chứng minh (1) đúng.

Với n=1 thì $\sqrt{a} < \dfrac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$

$ \Leftrightarrow 2\sqrt{a} < 1 + \sqrt{4a + 1}$

$\Leftrightarrow 4a < 1 + 4a + 1 + 2\sqrt{4a + 1}$ đúng với mọi $a\geq 0$

giả sử $a_k < \dfrac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$. Cần CM $a_{k+1} < \dfrac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$

Ta có :

$a_{k+1} = \sqrt{a+a_k}$

$\Rightarrow a^2_{k+1} = a + a_k < a + \dfrac{1+\sqrt{4a+1}}{2} = \left( \dfrac{1+\sqrt{4a+1}}{2} \right)^2$

$\Rightarrow đpcm$

Vậy (1) đúng với mọi số n nguyên dương.

Đây là 1 bước nhỏ tổng quát cho tất cả các dạng toán thế này. Các em áp công thức vào rồi ra nhé


P/S: Lâu ko gõ mà lần mò phát sợ @@

 

[hodoico]

Đặt a=[TEX]\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+....+\sqrt{3}[/TEX] (2011 dấu căn)
\Rightarrow $a^2$=3+[TEX]\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+....+\sqrt{3}[/TEX] (2010 dấu căn) (1)
Ta có A=[tex]\frac{3 - \sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+....+\sqrt{3}}}}}}{6 - \sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+....+\sqrt{3}}}}}}[/tex] (tử có 2011 dấu căn, mẫu 2010 dấu căn) (2)
Thay (1) vào (2) \Leftrightarrow A=[TEX]\frac{3-a}{6-a^2+3}[/TEX]
\Leftrightarrow A=[TEX]\frac{1}{3+a}[/TEX]
Dễ thấy 3+a>1

\Leftrightarrow [TEX]\frac{1}{3+a}[/TEX]<1<1,5
Tức A=[tex]\frac{3 - \sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+....+\sqrt{3}}}}}}{6 - \sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+....+\sqrt{3}}}}}}[/tex] < 1,5 (đpcm)