Giả sử không có cách chọn $c_i$
Số cách chọn $c_i \in \{-1;0 \}$ với $i=\overline{1,10}$ là $2^{10}-1=1023$ cách
Với mỗi cách chọn được 1 giá trị của A
Xét trong cách giá trị của A thì $A_1$ và $A_2$ cùng số dư khi chia cho 1032
Đặt $A_1=c_1a_1+c_2a_2+...+c_{10}a_{10} \\ A_2=c_1'a_1+...+c_{10}'a_{10}$
$\rightarrow A_1-A_2 \vdots 1032$
$\rightarrow (c_1-c_1')a_1+....+(c_{10}-c_{10}')a_{10} \vdots 1032$
Mà các số $c_i-c_i' \in \{ -1;0;1 \}$ nên tồn tại A chia hết cho 1032. Loại
Xét trong 1023 số không có 2 số nào cùng số dư khi chia cho 1032
Ta lại có số cách chọn $c_i \in \{1;0 \}$ với $i=\overline{1,10}$ là $2^{10}-1=1023$
cách
Lập luận như trên thì các số A với mỗi cách chọn có một số dư cho 1023 riêng
Đặt tập các số A được tạo bằng cách chọn $c_i \in \{ 1;0 \}$ là M và tập các số A được
tạo bằng cách chọn $c_i \in \{ -1;0 \}$ là N
Vì mỗi số trong tập M và N có số dư khi chia cho 1032 là khác nhau mà mỗi tập M và N
đều có 1023 phần tử
$\rightarrow$ tồn tại có 2 số trong 2 tập M và N có tổng chia hết cho 1032 (cái này dễ
c/m)
Gọi 2 số đó là $A_1$ và $A_2$
Đặt $A_1=c_1a_1+c_2a_2+...+c_{10}a_{10} \\ A_2=c_1'a_1+...+c_{10}'a_{10}$
$\rightarrow A_1+A_2 \vdots 1032$
$\rightarrow (c_1+c_1')a_1+...+(c_{10}+c_{10}')a_{10} \vdots 1032$
Mà $c_i+c_i' \in \{ -1;0;1 \} \rightarrow$ vô lí
Vậy ta luôn chọn được $c_i$ thỏa mãn đề bài
P/S
ài quá sợ sai
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn