[Toán 9]Bài toán chia hết

[congchuaanhsang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cm với mọi số nguyên tố p thì tồn tại n sao cho $2^n+3^n+6^n-1$ chia hết cho p

 

[harrypham]

Cm với mọi số nguyên tố p thì tồn tại n sao cho $2^n+3^n+6^n-1$ chia hết cho p

Nếu $p=2$ thì $n=1$ thoả mãn.
Nếu $p=3$ thì $n=2$ thoả mãn.
Nếu $p \ge 5$ thì ta có $n=p-2$ thoả mãn. Thật vậy thì $6(2^{p-2}+3^{p-2}+6^{p-2}-1)=3 \cdot 2^{p-1}+ 2 \cdot 3^{p-1}+6^{p-1}-6$.
Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta có $2^{p-1} \equiv 3^{p-1} \equiv 6^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$. Do đó $6(2^{p-2}+3^{p-2}+6^{p-2}-1)$ chia hết cho $p$ hay $2^{p-2}+3^{p-2}+6^{p-2}-1$ chia hết cho $p$.
Vậy luôn tồn tại số nguyên dương $n$ thoả mãn đề ra. $\blacksquare$

 

[congchuaanhsang]

Nếu $p=2$ thì $n=1$ thoả mãn.
Nếu $p=3$ thì $n=2$ thoả mãn.
Nếu $p \ge 5$ thì ta có $n=p-2$ thoả mãn. Thật vậy thì $6(2^{p-2}+3^{p-2}+6^{p-2}-1)=3 \cdot 2^{p-1}+ 2 \cdot 3^{p-1}+6^{p-1}-6$.
Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta có $2^{p-1} \equiv 3^{p-1} \equiv 6^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$. Do đó $6(2^{p-2}+3^{p-2}+6^{p-2}-1)$ chia hết cho $p$ hay $2^{p-2}+3^{p-2}+6^{p-2}-1$ chia hết cho $p$.
Vậy luôn tồn tại số nguyên dương $n$ thoả mãn đề ra. $\blacksquare$

Làm sao để tìm ra được chỗ màu đỏ bạn? Có cơ sở gì không?