[Toán 9] Bài Thi Chuyên Nguyễn Huệ đợt III

[myn_suju_exo]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1
1) Chứng minh rằng [TEX]\frac{1}{\sqrt[ ]{2}}+\frac{1}{\sqrt[ ]{3}}+\frac{1}{\sqrt[ ]{4}}+...+\frac{1}{\sqrt[ ]{2014}}<2\sqrt[ ]{2014}[/TEX]

2) Tìm tất cả các số nguyên [TEX]x,y[/TEX] thỏa mãn [TEX]x^3-xy+2x+2y+1=0[/TEX]

Bài 2

1) Giải phương trình [TEX]\sqrt[ ]{2x-1}+\sqrt[ ]{x}=3x-3+2\sqrt[ ]{2x^2-x}[/TEX]

2) Cho các số thực dương [TEX]x,y,z[/TEX] ([TEX]xyz=0[/TEX]) thỏa mãn [TEX]x^3+y^3+z^3=3xyz[/TEX] . Tính giá trị của biểu thức
[TEX]P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}[/TEX]

Bài 3

Cho [TEX]m, n[/TEX] Là các số tự nhiên thỏa mãn [TEX]3m^2+m=4n^2+n[/TEX] chứng minh rằng [TEX]m-n[/TEX] và [TEX]4m+4n+1[/TEX] đều là các số chính phương.


Câu 4

Cho 3 số dương [TEX]x,y,z[/TEX]. Chứng minh rằng [TEX]\sqrt[ ]{\frac{x}{y+z}}+\sqrt[ ]{\frac{y}{x+z}}+\sqrt[ ]{\frac{z}{x+y}}<2[/TEX]

Câu 5
Cho [TEX]x,y[/TEX] là 2 số dương có tổng bằng 1
Chứng minh rằng: [TEX]\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{3}{xy}\geq16[/TEX]
Cảm ơn rất rất rất nhiều ạ :khi (162):

 

[eye_smile]

Cho 3 số dương [TEX]x,y,z[/TEX]. Chứng minh rằng [TEX]\sqrt[ ]{\frac{x}{y+z}}+\sqrt[ ]{\frac{y}{x+z}}+\sqrt[ ]{\frac{z}{x+y}}<2[/TEX]

Có:
$\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}=\dfrac{x}{\sqrt{x(y+z)}}$ \geq $\dfrac{2x}{x+y+z}$
TT cộng vào theo vế \Rightarrow đpcm
(Do dấu "=" không xảy ra)

 

[eye_smile]

2) Cho các số thực dương [TEX]x,y,z[/TEX] ([TEX]xyz=0[/TEX]) thỏa mãn [TEX]x^3+y^3+z^3=3xyz[/TEX] . Tính giá trị của biểu thức
[TEX]P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}[/TEX]

${x^3}+{y^3}+{z^3}=3xyz$ \Rightarrow $x+y+z=0$ hoặc $x=y=z$
+Loại TH $x+y+z=0$ vì $x;y;z$ dương
+$x=y=z$
\Rightarrow $P=1,5$

 

[eye_smile]

Câu 5
Cho [TEX]x,y[/TEX] là 2 số dương có tổng bằng 1
Chứng minh rằng: [TEX]\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{3}{xy}\geq16[/TEX]

Có:
$\dfrac{2}{{x^2}+{y^2}}+\dfrac{3}{xy}=\dfrac{2}{1-2xy}+\dfrac{2}{2xy}+\dfrac{4}{2xy}$ \geq ${(2\sqrt{2})^2}+\dfrac{4}{2.\dfrac{1}{4}}=16$
Dấu "=" xảy ra tại $x=y=\dfrac{1}{2}$

 

[letsmile519]

bài làm đôi 4:

1b)

rút $y=\frac{x^3+2x+1}{x-2}$

-> $y=\frac{x^3-2x^2+2x^2-4x+6x-12+13}{x-2}$

vì để x,y nguyên -> $x-2$ thuộc ước của 13

-> giải ra x,y

2a)

đặt $\sqrt[]{2x-1}=a$ $\sqrt[]{x}=b$

-> $2b^2-a^2=1$

và theo đề bài $a+b=3(a^2-b^2)+2ab$

từ đó giải hệ pt

 

[tanngoclai]

Bài 1
1) Chứng minh rằng [TEX]\frac{1}{\sqrt[ ]{2}}+\frac{1}{\sqrt[ ]{3}}+\frac{1}{\sqrt[ ]{4}}+...+\frac{1}{\sqrt[ ]{2014}}<2\sqrt[ ]{2014}[/TEX]

[/SIZE][/FONT]

Dễ chứng minh : $2\sqrt{n} > \sqrt{n+1} + \sqrt{n-1} \ (n \ge 1 )$

$\to \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} < \dfrac{3-1}{1+\sqrt{3}} = \sqrt{3} -1$

Tương tự ta có :

$\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2014}}< \sqrt{3}-1+\sqrt{4} - \sqrt{2} + \sqrt{5}-\sqrt{3} + ... + \sqrt{2015}-\sqrt{2013} = \sqrt{2014} + \sqrt{2015} - 1 - \sqrt{2} < 2\sqrt{2014}$

 

[tanngoclai]

Bài 3

Cho [TEX]m, n[/TEX] Là các số tự nhiên thỏa mãn [TEX]3m^2+m=4n^2+n[/TEX] chứng minh rằng [TEX]m-n[/TEX] và [TEX]4m+4n+1[/TEX] đều là các số chính phương.


[/FONT]

Ta có : $3m^2 + m = 4n^2 + n \to (m-n)(4m+4n+1)=m^2$

Gọi $ (m-n; \ 4m+4n+1) = d \to m^2 = (m-n)(4m+4n+1) \ \vdots \ d^2 \to m \ \vdots \ d$

Mà $m-n \ \vdots \ d \to n \ \vdots \ d$

$\to d=1 \to m-n; 4m+4n+1$ nguyên tố cùng nhau và có tích là 1 số chính phương $(m \in N)$

$\iff m-n; 4m+4n+1$ đều là các số chính phương.

 

[baihocquygia]

đội 7

Câu 2
1. Đặt [TEX]\sqrt{2x-1}[/TEX] =a và [TEX]\sqrt{x}[/TEX] = b
phương trình tương đương với
a+b=a^2+b^2-2+2ab
\Leftrightarrow (a+b)^2-(a+b)-2=0
\Leftrightarrow (a+b+1)(a+b-2)=0
ví a+b+2 > 0
\Rightarrow a+b=2
\Leftrightarrow 3x-1 + 2[TEX]\sqrt{2x^2-x}[/TEX] =4
\Leftrightarrow 5-3x = 2[TEX]\sqrt{2x^2-x}[/TEX] ( x \leq 5/3)
\Leftrightarrow 9x^2-30x+25=8x^2-4x
\Leftrightarrow x^2 -26x+25=0
\Leftrightarrow x=1 hoặc x=25 (loại)
vật nghiệm của phương trình là x=1

 

[hoangtubongdem5]

Bác Tân rút nên em xin lại cái lời giải )

Bài 1: Dễ chứng minh : $2\sqrt{n} > \sqrt{n+1} + \sqrt{n-1} \ (n \ge 1 )$

$\to \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} < \dfrac{3-1}{1+\sqrt{3}} = \sqrt{3} -1$

Tương tự ta có :

$\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2014}}< \sqrt{3}-1+\sqrt{4} - \sqrt{2} + \sqrt{5}-\sqrt{3} + ... + \sqrt{2015}-\sqrt{2013} = \sqrt{2014} + \sqrt{2015} - 1 - \sqrt{2} < 2\sqrt{2014}$

Bài 3: Ta có : $3m^2 + m = 4n^2 + n \to (m-n)(4m+4n+1)=m^2$

Gọi $ (m-n; \ 4m+4n+1) = d \to m^2 = (m-n)(4m+4n+1) \ \vdots \ d^2 \to m \ \vdots \ d$

Mà $m-n \ \vdots \ d \to n \ \vdots \ d$

$\to d=1 \to m-n; 4m+4n+1$ nguyên tố cùng nhau và có tích là 1 số chính phương $(m \in N)$

$\iff m-n; 4m+4n+1$ đều là các số chính phương.

 

[0973573959thuy]

Đội 3 : Another

Giải lại bài 3, bài Tân bị thiếu =))

$3m^2 + m = 4n^2 + n$

$\leftrightarrow 4m^2 + m = 4n^2 + n + m^2$

$\leftrightarrow 4(m^2 - n^2) + m - n = m^2$

$\leftrightarrow 4(m - n)(m + n) + m - n = m^2$

$\leftrightarrow (m - n)(4m + 4n + 1) = m^2$

Gọi $(m - n; 4m + 4n + 1) = d$

$\rightarrow 4(m - n) + 4m + 4n + 1 = 8m + 1 \vdots d$

Mà $(m - n)(4m + 4n + 1) = m^2 \vdots d^2 \rightarrow m \vdots d \rightarrow 8m \vdots d$
nên $1 \vdots d \rightarrow d \in Ư(1) = \pm 1$

$\rightarrow m - n$ và $4m + 4n + 1$ nguyên tố cùng nhau

Mà chúng lại có tích là một số chính phương nên mỗi số m - n và 4m + 4n + 1 đều là 1 số chính phương.

 

[baihocquygia]

Có:
$\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}=\dfrac{x}{\sqrt{x(y+z)}}$ \geq $\dfrac{2x}{x+y+z}$
TT cộng vào theo vế \Rightarrow đpcm
(Do dấu "=" không xảy ra)

ủa đề bài là nói chứng minh nhỏ hơn mak seo lại làm lớn hơn hoặc bằng nhỉ có sai không

 

[eye_smile]

Đề sai.Phải là dấu >