[Toán 9]bài tập về bất đẳng thức

[torresss]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:Cho 3 số a,b,c>0,chứng minh rằng
$\dfrac{a^3+b^3}{2ab}$+$\dfrac{b^3+c^3}{2bc}$+ $\dfrac{c^3+a^3}{2ca}$\geqa+b+c.Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
bài 2:Cho các số dương x,y,z thoả mãn $x^3$+$y^3$+$z^3$=1.Chứng minh:
$\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$+$\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}$+$\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}$>2

 

[eye_smile]

1.Ta có:

$a^3+b^3=\dfrac{a^4}{a}+\dfrac{b^4}{b} \ge \dfrac{(a^2+b^2)^2}{a+b} \ge \dfrac{2ab.\dfrac{(a+b)^2}{2}}{a+b}=ab(a+b)$

\Rightarrow $\dfrac{a^3+b^3}{2ab} \ge \dfrac{ab(a+b)}{2ab}=\dfrac{a+b}{2}$

Tương tự, cộng theo vế \Rightarrow đpcm.

 

[lp_qt]

Câu 1

$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c$

$\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c$

\Rightarrow $2a+2b+2c \le \dfrac{a^3+b^3}{ab}+\dfrac{a^3+c^3}{ac}+\dfrac{c^3+b^3}{cb}$

\Rightarrow đpcm.

 

[eye_smile]

2.Ta có:

$\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}$

Có: $x\sqrt{1-x^2}=\sqrt{x^2(1-x^2)} \le \dfrac{x^2+1-x^2}{2}=\dfrac{1}{2}$

\Rightarrow $\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \ge \dfrac{x^3}{\dfrac{1}{2}}=2x^3$

Tương tự, cộng theo vế \Rightarrow đpcm.