[Toán 9] Bài tập tổng hợp

[huynhbachkhoa23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho $x,y,z \ge 0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$. Chứng minh:
$$xy+yz+zx\le 2xyz+\dfrac{1}{2}$$

Bài 2: Cho $x,y,z \ge 0$ thỏa mãn $x+y+z+xyz=4$. Tìm GTLN của $xy+yz+zx$

Bài 3: Cho $x,y,z \ge 0$ thỏa mãn $2(x^2+y^2+z^2)+3xyz=9$. Chứng minh:
$$ x+y+z \le 3 $$

Bài 4: Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn:
$$ f(f(x))=3f(x)-2x $$

Bài 5: Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn: $\begin{cases}
f(1)=2\\
(x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y)=4xy(x-y)(x+y)\\
\end{cases}$

Bài 6: Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn cả 2 tính chất:
(1) $x_1>x_2 \leftrightarrow f(x_1)>f(x_2)$ với $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$
(2) $f(f(x)+y)=f(x+y)+1$ với $x,y \in \mathbb{R}$

Bài 7: Cho $M$ là điểm tùy ý trong mặt phẳng chứa tam giác $ABC$.
(a) Chứng minh các đường thẳng đối xứng với $AM, BM, CM$ qua phân giác góc $A, B, C$ đồng quy tại 1 điểm $M'$

(b) $D, E, F$ là hình chiếu của $M$ lên $BC, CA, AB$ và $D', E', F'$ là hình chiếu của $M'$ lên $BC, CA, AB$. Chứng minh $D, E, F, D', E', F'$ cùng nằm trên 1 đường tròn.

(c) Chứng minh tâm đường tròn đi qua 6 điểm trên là trung điểm đoạn nối $MM'$

(d) Chứng minh $AM' \bot EF$

P/s: Bài hình có vẻ khó nhất )

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1: Cho $x,y,z \ge 0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$. Chứng minh:
$$xy+yz+zx\le 2xyz+\dfrac{1}{2}$$

Giả sử $x=\text{min{x;y;z}}$, từ đây ta có $0\le x\le \dfrac{1}{2}$

Tồn tại $t \ge 0$ thỏa mãn $x^2+2t^2+2t^2x=1$

Ta có $2t^2-y^2-z^2=2x(yz-t^2)$

Giả sử $yz > t^2$

$\to 2t^2>y^2+z^2\ge 2yz \to yz < t^2$

Vậy $yz \le t^2$

Đặt $f(x;y;z)=xy+yz+zx-2xyz -\dfrac{1}{2}$

Cần đánh giá $f(x;y;z) \le 0$

$f(x;t;t)=2tx+t^2-2t^2x-\dfrac{1}{2}$

$f(x;y;z)-f(x;t;t)=x(y+z-2t)+(1-2x)(yz-t^2)$

$y+z-2t =\dfrac{2(1-x)(yz-t^2)}{y+z+2t} \le 0$

Vậy $f(x;y;z) \le f(x;t;t)$

$x^2+2t^2+2t^2x=1 \leftrightarrow x=1-2t^2 \ge 0 \leftrightarrow t^2 \le \dfrac{1}{2}$

$f(x;t;t)=f(1-2t^2; t; t)=2t(1-2t^2)+t^2-2t^2(1-2t^2)-\dfrac{1}{2} =4(t^2-\dfrac{1}{2})(t-\dfrac{1}{2})^2 \le 0$

Vậy $f(x;y;z ) \le 0$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2: Cho $x,y,z \ge 0$ thỏa mãn $x+y+z+xyz=4$. Tìm GTLN của $xy+yz+zx$

Giả sử $x = \text{min{x;y;z}}$, từ đây ta có $0\le x \le 1$

Tồn tại $t \ge 0$ thoả $x+2t+xt^2=4$

Ta có $2t-(y+z)=x(yz-t^2)$

Giả sử $2t > y+z \to yz > t^2$

$2t> y+z \leftrightarrow 4t^2 > (y+z)^2 \ge 4yz \leftrightarrow t^2 > yz$

Vậy $2t \le y+z$ và $t^2 \ge yz$

Đặt $f(x;y;z)=xy+yz+zx$

$f(x;t;t)=2tx+t^2$

$f(x;y;z)-f(x;t;t)=x(y+z-2t)+(yz-2t^2)=(1-x^2)(yz-t^2) \le 0$

Từ giả thiết ta có $x=\dfrac{4-2t}{t^2+1} \ge 0 \leftrightarrow 0 \le t \le 2$

$f(x;t;t)=f(\dfrac{4-2t}{t^2+1};t;t)=\dfrac{t^4-3t^2+8t}{t^2+1}=\dfrac{(t-2)[t(t-1)^2+(2t-1)^2+1]}{t^2+1} +4 \le 4$

Vậy $f(x;y;z) \le 4$

Đẳng thức xảy ra khi $(x;y;z)=(0;2;2)$ và cách hoán vị tương ứng.

 

[thinhrost1]

Bài 1: Cho $x,y,z \ge 0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$. Chứng minh:
$$xy+yz+zx\le 2xyz+\dfrac{1}{2}$$

Bài 2: Cho $x,y,z \ge 0$ thỏa mãn $x+y+z+xyz=4$. Tìm GTLN của $xy+yz+zx$

Bài 3: Cho $x,y,z \ge 0$ thỏa mãn $2(x^2+y^2+z^2)+3xyz=9$. Chứng minh:
$$ x+y+z \le 3 $$

Bài 4: Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn:
$$ f(f(x))=3f(x)-2x $$

Bài 5: Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn: $\begin{cases}
f(1)=2\\
(x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y)=4xy(x-y)(x+y)\\
\end{cases}$

Bài 6: Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn cả 2 tính chất:
(1) $x_1>x_2 \leftrightarrow f(x_1)>f(x_2)$ với $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$
(2) $f(f(x)+y)=f(x+y)+1$ với $x,y \in \mathbb{R}$

Bài 7: Cho $M$ là điểm tùy ý trong mặt phẳng chứa tam giác $ABC$.
(a) Chứng minh các đường thẳng đối xứng với $AM, BM, CM$ qua phân giác góc $A, B, C$ đồng quy tại 1 điểm $M'$

(b) $D, E, F$ là hình chiếu của $M$ lên $BC, CA, AB$ và $D', E', F'$ là hình chiếu của $M'$ lên $BC, CA, AB$. Chứng minh $D, E, F, D', E', F'$ cùng nằm trên 1 đường tròn.

(c) Chứng minh tâm đường tròn đi qua 6 điểm trên là trung điểm đoạn nối $MM'$

(d) Chứng minh $AM' \bot EF$

P/s: Bài hình có vẻ khó nhất )

Hơi buồn bài khó quá nên tự giải vậy )

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 3: Cho $x,y,z \ge 0$ thỏa mãn $2(x^2+y^2+z^2)+3xyz=9$. Chứng minh:
$$ x+y+z \le 3 $$

Cách 1: Phản chứng

Giả sử $x+y+z > 3$

$9=2(x^2+y^2+z^2)+3xyz>\dfrac{18(x^2+y^2+z^2)}{(x+y+z)^2}+\dfrac{81xyz}{(x+y+z)^3}$

Quy đồng lên ta được $(x+y+z)^3 > 2(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)+9xyz$

$\leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xyz < xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$

BDT này trái với Schur bậc 3.

Vậy giả sử sai hay $x+y+z \ge 3$

Cách 2: Dồn biến

Không mất tính tổng quát, giả sử $x=\text{min{x;y;z}}$, từ đây ta có $0\le x\le 1$

Tồn tại $t \ge 0$ thoả điều kiện ở đầu bài, nghĩa là $2(x^2+2t^2)+3xt^2=9$

Ta có $2(2t^2-y^2-z^2)=3x(yz-t^2)$

Giả sử $yz > t^2 \leftrightarrow 2t^2 > y^2+z^2$

Áp dụng BDT AM-GM: $2t^2 > y^2+z^2 \ge 2yz$ hay $t^2> yz$ trái với giả sử đặt ra.

Vậy $yz \le t^2$ và $2t^2\le y^2+z^2$

$y+z-2t=\dfrac{(4-3x)(yz-t^2)}{2(y+z+2t)} \le 0$

$\leftrightarrow x+y+z \le x+2t$

Cần chứng minh $4t^2 \le x^2-6x+9$

$\leftrightarrow 36-8x^2-(x^2-6x+9)(3x+4) \le 0$

$\leftrightarrow x(x-1)^2 \ge 0$ (đúng)

Vậy BDT được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi ba biến bằng nhau hoặc 1 biến bằng 0 và 2 biến còn lại bằng nhau.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 4: Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn:
$$ f(f(x))=3f(x)-2x $$

Bài 5: Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn: $\begin{cases}
f(1)=2\\
(x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y)=4xy(x-y)(x+y)\\
\end{cases}$

Bài 4:

Từ phương trình ta suy ra $f(f(f(....f(x).....)))=3f(f(.....f(x)....))-2f(.....f(x)....)$ với vế phải có $n$ lần $f(x)$, $3f(f(.....f(x)....))$ có $n-1$ lần và $2f(.....f(x)....)$ có $n$ lần.

Đặt $n$ lần $f(x)$ bằng $u_n$ hay $u_n=f(f(....f(x)....))=f_{n}(x)$

Ta có $u_{n+2}-3u_{n+1}+2u_{n}=0$

Phương trình đặc trưng: $\lambda^2-3\lambda+2=0$

$\leftrightarrow \lambda=1$ hoặc $\lambda = 2$

Vậy $u_{n}=c_1+c_2.2^{n}$

$n=0$ thì $c_1+c_2=x$

$n=1$ thì $c_1+2c_2=f(x)$

Suy ra $c_1=2x-f(x)$ và $c_2=f(x)-x$

Vây $f(x)=2x-c_1$ hoặc $f(x)=x+c_2$

Bài 5: Thế $x=n+1; y=n$ ta được:
$f(2n+1)=(2n+1)^3+(2n+1)$

Thử lại thấy $f(x)=x^3+x$ thoả mãn.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 6: Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn cả 2 tính chất:
(1) $x_1>x_2 \leftrightarrow f(x_1)>f(x_2)$ với $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$
(2) $f(f(x)+y)=f(x+y)+1$ với $x,y \in \mathbb{R}$

Mới suy nghĩ xong bài này @-)

Từ tính chất $(1)$ ta suy ra $f(x)$ là hàm tăng thực sự hay $f(x)=f(y) \leftrightarrow x=y\;\;(3)$

Chọn $y=0$ và $x\in \mathbb{R}$ ta được $f(f(x))=f(x)+1\;\;(4)$

Chọn $x=0$ ta được $f(f(0)+y)=f(y)+1$ hay $f(f(0)+x)=f(x)+1\;\;(5)$

Từ tính chất $(4)$ và $(5)$ ta có $f(f(x))=f(f(0)+x)$

Theo tính chất $(3)$ ta có $f(x)=f(0)+x\;\;(6)$

Từ tính chất $(6)$ thay $x=f(x)+y$ ta được $f(f(x)+y)=f(0)+f(x)+y\;\;(7)$

Thay tính chất $(1)$ vào $(7)$ ta được $f(x+y)+1=f(0)+f(x)+y\;\;(8)$

Thay tính chất $(6)$ vào $(8)$ ta được $f(x+y)+1=2f(0)+x+y$

Cũng từ tính chất $(6)$ ta có $f(x+y)=f(0)+x+y$

Ta được $f(0)+x+y+1=2f(0)+x+y$ hay $f(0)=1$

Thay $f(0)=1$ vào $(6)$ ta được $f(x)=x+1$

Thử lại thấy $f(x)=x+1$ thoả mãn các tính chất trên nên $f(x)=x+1$ là hàm duy nhất cần tìm.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 7: Cho $M$ là điểm tùy ý trong mặt phẳng chứa tam giác $ABC$.
(a) Chứng minh các đường thẳng đối xứng với $AM, BM, CM$ qua phân giác góc $A, B, C$ đồng quy tại 1 điểm $M'$

(b) $D, E, F$ là hình chiếu của $M$ lên $BC, CA, AB$ và $D', E', F'$ là hình chiếu của $M'$ lên $BC, CA, AB$. Chứng minh $D, E, F, D', E', F'$ cùng nằm trên 1 đường tròn.

(c) Chứng minh tâm đường tròn đi qua 6 điểm trên là trung điểm đoạn nối $MM'$

(d) Chứng minh $AM' \bot EF$

(a) Áp dụng định lý Ceva:

$\dfrac{\sin (MA; AB)}{\sin (MA; AC)}.\dfrac{\sin (MB; BC)}{\sin (MB; AB)}.\dfrac{\sin (MC; AC)}{\sin (MC; BC)}=-1$

Ta có $(MA; AB)=-(M'A; AC)$ và $(MA; AC)=-(M'A; AB)$

Tương tự với các góc còn lại, áp dụng định lý Ceva đảo $\leftrightarrow$ $\text{Q.E.D}$

(b) Xét riêng 2 đường $AM$ và $AM'$ với 2 cạnh $AB, AC$

$AE=AM\cos MAE$ và $AE'=AM'\cos M'AE'$
$AF=AM\cos MAE $ và $AF'=AM' \cos M'AE'$

Từ đây ta có $AE.AE'=AF.AF'$ hay $E,F,E',F'$ cùng nằm trên 1 đường tròn.

Tương tự với mấy điểm còn lại.

(c) Gọi tâm đường tròn đi qua 6 điểm trên là $I$

Ta có $I$ nằm trên đường trung trực của $EF$ và $E'F'$ mà $MM'F'E$ và $M'MEE'$ là hai hình thang vuông, từ đây ta có $I$ là trung điểm $MM'$

(d) Gọi giao $AM'$ và $EF$ là $T$

Ta có $\widehat{MAE}=\widehat{EFM}$

Mặt khác $\widehat{TAF}=\widehat{MAE}$

Suy ra $\widehat{TAF}=\widehat{EFM}$

Suy ra điều cần chứng minh.

 

[hthuongpthao]

"Tồn tại $t \ge 0$ thỏa mãn $x^2+2t^2+2t^2x=1$"

tại sao lại vậy?