[Toán 9]Bài tập liên quan đến BĐT Cauchy

[happytomorrowww]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:
Cho [TEX]a,b,c>1[/TEX]. CMR: [TEX]\frac{2+b+c}{1+a}+\frac{2+c+a}{1+b}+\frac{2+a+b}{1+c}\geq 6[/TEX]

Bài 2:
Cho [TEX]a,b,c>1[/TEX]. CMR: [TEX](\frac{2+b+c}{1+a})^{2}+(\frac{2+c+a}{1+b})^2+[/TEX][TEX](\frac{2+b+a}{1+c})^2\geq 12[/TEX]

Bài 3:
[TEX]a,b,c\geq 1[/TEX]. CMR:
[TEX]\frac{1}{1+a^2}+\frac{2}{1+b^2}+\frac{3}{1+c^2}[/TEX][TEX]\geq \frac{6}{1+abc}[/TEX]

Bài 4:
[TEX]0<a,b,c<1[/TEX]. CMR:
[TEX](a+b+c)+\frac{a(2+b+c)}{1+a}+\frac{b(2+a+C)}{1+b}+\frac{c(2+a+b)}{1+c}\geq 9\sqrt[3]{abc}[/TEX]

Bài 5:
Tìm GTNN [TEX]f=\frac{x+y}{xyz}[/TEX] với [TEX]x,y,z>0; x+y+z=1[/TEX]

Bài 6:
Tìm GTNN [TEX]S=x+\frac{1}{xy(x-y)}[/TEX] với [TEX]x>y>0[/TEX]

Bài 7:
Tìm GTLN [TEX]f=x+y+z+xy+yz+zx[/TEX] với [TEX]x^2+y^2+z^2\leq 27[/TEX]

 

[minhtuyb]

Bài 1:
Cho [TEX]a,b,c>1[/TEX]. CMR: [TEX]\frac{2+b+c}{1+a}+\frac{2+c+a}{1+b}+\frac{2+a+b}{1+c}\geq 6[/TEX]

Bài 2:

Cho [TEX]a,b,c>1[/TEX]. CMR: [TEX](\frac{2+b+c}{1+a})^{2}+(\frac{2+c+a}{1+b})^2+[/TEX][TEX](\frac{2+b+a}{1+c})^2\geq 12[/TEX]

Bài 3:
[TEX]a,b,c\geq 1[/TEX]. CMR:
[TEX]\frac{1}{1+a^2}+\frac{2}{1+b^2}+\frac{3}{1+c^2}[/TEX][TEX]\geq \frac{6}{1+abc}[/TEX]

Bài 1,2 gt cho [TEX]a,b,c>-1[/TEX] là đủ rồi nhi :-?
Bài 1: Đặt [TEX]x=a+1;y=b+1;z=c+1\Rightarrow x,y,z>0[/TEX]. BĐT cần c/m tương đương:
[TEX]\frac{x+y}{z}+\frac{x+z}{y}+\frac{y+z}{x}\geq 6[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}\geq 6[/TEX]. Đúng theo Cauchy 6 số
Dấu bằng xảy ra khi[TEX]x=y=z\Leftrightarrow a=b=c[/TEX]
Bài 2:
-Áp dụng BĐT [TEX]x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}[/TEX], ta có:
[TEX]VT=(\frac{2+b+c}{1+a})^{2}+(\frac{2+c+a}{1+b})^2+(\frac{2+b+a}{1+c})^2\geq \frac{(\frac{2+b+c}{1+a}+\frac{2+c+a}{1+b}+\frac{2+a+b}{1+c})^2}{3}[/TEX]
Mà theo bài 1 ta đã có [TEX]\frac{2+b+c}{1+a}+\frac{2+c+a}{1+b}+\frac{2+a+b}{1+c}\geq 6[/TEX] nên:
[TEX]VT\geq \frac{6^2}{3}=12<Q.E.D>[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX]
Bài 3: Dùng phương pháp xét hiệu:
[TEX]\frac{1}{1+a^2}+\frac{2}{1+b^2}+\frac{3}{1+c^2}- \frac{6}{1+abc}[/TEX]
[TEX]=(\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+abc})+(\frac{2}{1+b^2}- \frac{2}{1+abc})+(\frac{3}{1+c^2}- \frac{3}{1+abc})[/TEX]
[TEX]=(\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+abc})+(\frac{2}{1+b^2}- \frac{2}{1+abc})+(\frac{3}{1+c^2}- \frac{3}{1+abc})=\frac{a(bc-1)}{(a^2+1)(1+abc)}+\frac{2b(ac-1)}{(b^2+1)(1+abc)}+\frac{3c(ab-1)}{(c^2+1)(1+abc)}\geq 0[/TEX]( Vì [TEX]a,b,c\geq 1[/TEX])
Vậy ta có ĐPCM. Dấu bằng xảy ra khi [TEX]ab=bc=ca=1\Leftrightarrow a=b=c=1[/TEX]

 

[l0vely_heart]

Bài 5:
Tìm GTNN [TEX]f=\frac{x+y}{xyz}[/TEX] với [TEX]x,y,z>0; x+y+z=1[/TEX]

Cô si cho 2 số không âm
+ [TEX]1 = (x+y) + z \geq 2\sqrt{(x+y)z}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]1 \geq 4(x+y)z (*)[/TEX]
+ [TEX]x+y \geq 2\sqrt{xy}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](x+y)^2 \geq 4xy (**)[/TEX]
[TEX](*)[/TEX]x[TEX](**) [/TEX] ta được :
[TEX](x+y)^2 \geq 16xyz(x+y)[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]x+y \geq 16xyz[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]f=\frac{x+y}{xyz} \geq 16[/TEX]
\Rightarrow [TEX]Min_f = 16 [/TEX]\Leftrightarrow [TEX]x=y = \frac{1}{4}[/TEX] và[TEX] z = \frac{1}{2}[/TEX]

 

[minhtuyb]

Cố đấm ăn xôi thêm 1 bài ="='
Bài 7: Dễ dàng c/m các BĐT quen thuộc
[tex](x+y+z)^2\leq 3(x^2+y^2+z^2)\leq 3.27=81\Rightarrow x+y+z\leq \sqrt{81}=9[/tex]
[tex]xy+yz+yz\leq x^2+y^2+z^2=27[/tex]
Cộng lại có [tex]f\leq 9+27=36[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi [tex](x;y;z)=(3;3;3);(-3;-3;-3)[/tex]
P/s:Mình đang ôn sử mà nhỉ :|