Cho a,b,c>0 thỏa 2ab+6bc+2ac=7abc
Tìm GTNN: C=
[tex]\frac{4ab}{a+2b} + \frac{9ac}{a+4c} + \frac{4bc}{b+c}[/tex]
Do $a,b,c>0$ nên ta có :
$2ab+6bc+2ca=7abc\Leftrightarrow \dfrac {2}{c}+\dfrac {6}{a}+\dfrac {2}{b}=7$
Và $C=\dfrac {4ab}{a+2b}+\dfrac {4bc}{b+c}+\dfrac {9ca}{4c+a}=\dfrac {4}{\dfrac {2}{a}+\dfrac {1}{b}}+\dfrac {4}{\dfrac {1}{b}+\dfrac {1}{c}}+\dfrac {9}{\dfrac {4}{a}+\dfrac {1}{c}}$
Áp dụng $BĐT$ $Cauchy–Schwarz$ dạng $Engel$, ta có :
$C=\dfrac {2^{2}}{\dfrac {2}{a}+\dfrac {1}{b}}+\dfrac {2^{2}}{\dfrac {1}{b}+\dfrac {1}{c}}+\dfrac {3^{2}}{\dfrac {4}{a}+\dfrac {1}{c}}\geq \dfrac {\left( 2+2+3\right) ^{2}}{\dfrac {2}{a}+\dfrac {1}{b}+\dfrac {1}{b}+\dfrac {1}{c}+\dfrac {4}{a}+\dfrac {1}{c}}=\dfrac {7^{2}}{\dfrac {6}{a }+\dfrac {2}{b}+\dfrac {2}{c}}=\dfrac {49}{7}=7$
Tại $a=2,b=1,c=1$ $($thoả mãn đề bài$)$, ta có : $C=\dfrac {4.2.1}{2+2.1}+\dfrac {9.2.1}{2+4.1}+\dfrac {4.1.1}{1+1}=2+3+2=7$
Vậy $Min_{C}=7$ khi $a=2,b=1$ và $c=1$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
