Toán [Toán 9] Bài tập chuyên

[vuasanban]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1
Tìm các chữ số a, b, c biết rằng $\sqrt{\overline{abc}}$=(a+b)$\sqrt{c}$
Bài 2
Một lớp học có số học sinh đạt xếp loại Giỏi ở mỗi môn học (trong số 11 môn) đề vượt quá 50%. Chứng minh rằng có ít nhất 3 học sinh được xếp loại Giỏi từ 2 môn trở lên

 

[riverflowsinyou1]

Giải như sau :
1) Từ đề suy ra $100a+10b+c=(a+b)^2c$ suy ra $c[(a+b)^2-1]=10(10a+b)$ (*)
Vì $a \ge 1$ nên $c[(a+b)^2-1] \ge 100$ suy ra $a+b \ge 4,c \ge 1$
Nếu $a+b$ không chia hết cho $3$ thì suy ra $10a+b \vdots 3$ \Leftrightarrow $a+b \vdots 3$ vô lí
Từ (*) suy ra $c \vdots 3$ vì vậy nên $c \not \vdots 5$
Từ (*) suy ra $[(a+b)^2-1] \vdots 5$ nên
$\begin{matrix} &a+b-1 \vdots 5&\\&a+b+1 \vdots 5& \end{matrix}$
Kết hợp với $a+b \vdots 3$ suy ra $a+b=6$ hoặc $a+b=9$
Với $a+b=9$ thay vào (*)
$10(9a+9)=80c$ \Rightarrow $c \vdots 9$ \Leftrightarrow $c=9$
Suy ra $a=7,b=2$. Trường hợp $a+b=6$ thì giải tương tự