[Toán 9]Bài BĐT ôn thi học sinh giỏi cấp huyện đây

L

luffy_1998

Đặt $y + z = a, x + z = b, x + y = c \rightarrow x - z = c - a. y - x = a - b, z - y = b - c$
$b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2 - abc(a + b + c) = \dfrac{1}{2}[(bc - ca)^2 + (ab - bc)^2 + (ca - ab)^2] \ge 0$
$\rightarrow \dfrac{b^2c(c - a) + c^2a(a - b) + a^2b(b - c)}{abc} \ge 0$
$\rightarrow \dfrac{b(c - a)}{a} + \dfrac{c(a - b)}{b} + \dfrac{a(b - c)}{c} \ge 0$
$\rightarrow \dfrac{x^2 - z^2}{y + z} + \dfrac{y^2 - x^2}{z + x} + \dfrac{z^2 - y^2}{x + y} \ge 0. (dpcm)$
 
V

vy000

Cách mình ko biết ngắn hơn ko

Ta có:

$\sum\dfrac{x^2-z^2}{y+z}=\dfrac{x^2}{y+z}-\dfrac{z^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}-\dfrac{x^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}-\dfrac{y^2}{y+x}$

$=\sum x^2(\dfrac1{y+z}-\dfrac1{z-x})$

$=\sum \dfrac{x^2(x^2-y^2)}{(x+y)(y+z)(z+x)} \ge 0$ luôn đúng
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom