Xin được khai bàn phím đầu năm : 
Đặt [TEX]a_1- b_1 = a_2 - b_2 = a_3 - b_3 = a_4 - b_4 = k[/TEX]
Với k là 1 số tự nhiên ( 0 \leq k \leq 9)
[TEX]\Rightarrow \overline{(b_1 + k)(b_2 + k)(b_3 + k)(b_4 + k)} = \overline{b_1b_2b_3b_4}[/TEX]
Tức
\Rightarrow [TEX]\left{\begin{\overline{b_1b_2b_3b_4} = m^2}\\{\overline{b_1b_2b_3b_4} + 1111k = n^2} [/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]n^2 - m^2 = 1111k \Leftrightarrow (m - n)(m + n) = 11.101k[/TEX]
Bây giờ thì ta cần phải đi xét
Để ý đk kiện [TEX]m^2[/TEX] và [TEX]n^2[/TEX] là các số có 4 chữ số
Vì vậy mà m và n chỉ có 2 chữ số (*)
Đầu tiên xét các số k nguyên tố và k = 1
Với k = 1 thì
[TEX] \Rightarrow \left{\begin{m - n = 11}\\{ m + n = 101 } [/TEX][TEX]\Rightarrow \left{\begin{n = 45}\\{m = 56} [/TEX][TEX]\Rightarrow \left{\begin{m^2 = 3136}\\{n^2 = 2025 } [/TEX]
Với k = 2
Thì tức
[TEX](m - n)(m + n) = 11.2.101[/TEX]
Lại xét vs
\Leftrightarrow [TEX]\left{\begin{m - n = 22}\\{m + n = 101} [/TEX] (loại do m , n ko nguyên)
Với k = 3 thì tức
\Rightarrow [TEX](m - n)(m + n) =11.3.101 [/TEX]
Tức
\Leftrightarrow [TEX]\left{\begin{m - n = 33}\\{m + n = 101} [/TEX][TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{n= 34}\\{m = 67} [/TEX][TEX] \Leftrightarrow \left{\begin{n^2= 1156}\\{m^2 = 4489} [/TEX]
k = 5 thì tức
[TEX](m -n)(m +n) = 11.5.101[/TEX]
Do cái đk ở (*) nên ko thể t/m
tương tự với 7
Bây giờ còn các k hợp số
...
Tổng quát lên thì thấy rằng
Với [TEX]k = 2(2p + 1)[/TEX] thì không thể thõa mãn !
Điều này dễ thấy vì [TEX] m -n[/TEX] và [TEX]m + n[/TEX] là 2 số đồng dư với 2
Nếu có 1 số chia hết 2 thì số kia cũng chia hết 2
Vậy với [TEX]k = 2.2p [/TEX]
tức [TEX]k = 4 [/TEX]và [TEX]k = 8[/TEX]
cả 2 TH này đều ko thõa mãn ! Dễ tìm đc điều này từ (*)
ông làm dài quá,có cấn thiết vậy không
ta dễ dàng chỉ ra được (m-n)(m+n) chia hết cho 1111
mà 1111=101x11 ,là 2 số nguyên tố cùng nhau
lập luận để chứng tỏ được m-n là bội của 11 ,còn m+n là bội của 101
dê dàng cm được m+n<200=>m+n=101
m-n<69=>m-n=11,22,...66
lập bảng để xát các trường hợp
cuối cùng ta tìm được 2 nghiệm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn