[Toán 9]Ai giẢi ĐƯỢc????

[ngoisao_khongten1993]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

chứng minh rằng trong các số tự nhiên thế nào cũng có số k sao cho "[TEX]1983^k-1[/TEX]" chia hết cho [TEX]10^5[/TEX]
(đề thi học sinh giỏi cấp hai toàn quốc 1983)

 

[vansang02121998]

Xét dãy số

$1983^1$

$1983^2$

$.......$

$1983^{10^5+1}$

Theo định lý Đirichlê thì có ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho $10^5$. Giả sử, hai số đó là $1983^m$ và $1983^n$ ( $m > n$ )

$\Rightarrow 1983^m-1983^n \vdots 10^5$

$\Leftrightarrow 1983^n(1983^{m-n}-1) \vdots 10^5$

mà $UCLN(1983^n;10^5)=1$

$\Rightarrow 1983^{m-n}-1 \vdots 10^5$

Vậy, luôn tồn tại một số $k$ nào đó để $1983^k-1 \vdots 10^5$