Xét dãy số
198 3 1 1983^1 1 9 8 3 1
198 3 2 1983^2 1 9 8 3 2
. . . . . . . ....... . . . . . . .
198 3 1 0 5 + 1 1983^{10^5+1} 1 9 8 3 1 0 5 + 1
Theo định lý Đirichlê thì có ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho
1 0 5 10^5 1 0 5 . Giả sử, hai số đó là
198 3 m 1983^m 1 9 8 3 m và
198 3 n 1983^n 1 9 8 3 n (
m > n m > n m > n )
⇒ 198 3 m − 198 3 n ⋮ 1 0 5 \Rightarrow 1983^m-1983^n \vdots 10^5 ⇒ 1 9 8 3 m − 1 9 8 3 n ⋮ 1 0 5
⇔ 198 3 n ( 198 3 m − n − 1 ) ⋮ 1 0 5 \Leftrightarrow 1983^n(1983^{m-n}-1) \vdots 10^5 ⇔ 1 9 8 3 n ( 1 9 8 3 m − n − 1 ) ⋮ 1 0 5
mà
U C L N ( 198 3 n ; 1 0 5 ) = 1 UCLN(1983^n;10^5)=1 U C L N ( 1 9 8 3 n ; 1 0 5 ) = 1
⇒ 198 3 m − n − 1 ⋮ 1 0 5 \Rightarrow 1983^{m-n}-1 \vdots 10^5 ⇒ 1 9 8 3 m − n − 1 ⋮ 1 0 5
Vậy, luôn tồn tại một số
k k k nào đó để
198 3 k − 1 ⋮ 1 0 5 1983^k-1 \vdots 10^5 1 9 8 3 k − 1 ⋮ 1 0 5
Last edited by a moderator: 30 Tháng ba 2013