[Toán 9] $2^x+57=y^2$

[daorin]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Tìm x,y thuộc N thỏa mãn :
[TEX]2^x + 57 = y^2[/TEX]
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

[TEX] a^4 + b^4 + ... n^4 = 1599[/TEX]
( có 14 số hạng)

 

[minhtuyb]

1/ -$x$ chẵn, đặt $x=2k$. Đưa về pt ước số:
$$(y+2^k)(y-2^k)=57=57.1=19.3...$$
-$x$ lẻ thì $VT=2^x+57\equiv (-1)^x\equiv 2 (mod\ 3)$, mà $VP\equiv 0;1\ (mod\ 3)$ nên pt vô nghiệm trong trường hợp này

2/ Chặn nhé, $\sqrt[4]{1559}$ không to đâu bạn.

 

[hthtb22]

Ý 2 có cách khác
Xét đồng dư:
$a^4+b^4+c^4+...+z^4=1599$ (có 14 hạng tử)
ta sẽ c/m: $a^4$ chia cho 16 dư 0 hoặc 1
Nếu $a= 2k \Rightarrow a^4 = 16.k^4 \vdots 16$
Nếu $a =2k+1 \Rightarrow a^4 = (a^2-1)(a^2+1) +1=(a-1)(a+1)(a^2+1) +1$ chia 16 dư 1

\Rightarrow $a^4+b^4+c^4+...+z^4$ chia 16 dư $<\overline{0;14}>$
Mà $1599$ chi 16 dư 15
Vậy vô nghiệm