[Toán 9]1 số bài toán khó trong các kì thi HSG

[star_music]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Tìm tất cả các số nguyên tố a,b,c sao cho:
[TEX]a^b+b^a=c[/TEX]

 

[star_music]

Còn nữa:
2.Tính giá trị của biểu thức:
[TEX]B=\sqrt[]{1+2004^2+\frac{2004^2}{2005^2}}+\frac{2004}{2005}[/TEX]
3.Chứng minh rằng:
[TEX]A=\frac{1}{3}.\frac{4}{6}.\frac{7}{9}.\frac{10}{12}...\frac{2008}{2010}<\frac{1}{25}[/TEX]
4.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số
[TEX]A(x)=\frac{x^2+15x+16}{3x}[/TEX]
Với x thuộc miền số thực dương
5*
Bên trong một cái sân hình chữ nhật,co chiều dài 4m,chiều rộng 3m có 6 con chim đang ăn.Chứng minh rằng phải có ít nhất 2 con chim mà khoảng cách đậu giữa chúng nhỏ hơn hoặc bằng [TEX]\sqrt[]{5}[/TEX]m

 

[mua_buon_97]

Còn nữa:
2.Tính giá trị của biểu thức:
[TEX]B=\sqrt[]{1+2004^2+\frac{2004^2}{2005^2}}+\frac{2004}{2005}[/TEX]

2> Dễ dàng c/m đc: [TEX]\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{(a+b)^2}}=| \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b}|[/TEX]
áp dụng:
[TEX]B=\sqrt[]{1+2004^2+\frac{2004^2}{2005^2}}+\frac{2004}{2005}[/TEX]

[TEX]=\sqrt{ 2004^2 (\frac{1}{2004^2}+1+\frac{1}{2005^2})} +\frac{2004}{2005}[/TEX]

[TEX]=2004 (\frac{1}{2004}+1-\frac{1}{2005})+\frac{2004}{2005}[/TEX]

[TEX]=1+2004=2005[/TEX]

 

[mua_buon_97]

Còn nữa:
4.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số
[TEX]A(x)=\frac{x^2+15x+16}{3x}[/TEX]
Với x thuộc miền số thực dương

[TEX]A(x)=\frac{x^2+15x+16}{3x}[/TEX]
[TEX]A=\frac{x}{3}+\frac{16}{3x}+5 \geq 2.\sqrt{\frac{x}{3}.\frac{16}{3x}}+5[/TEX]
[TEX]A \geq \frac{23}{3}\Leftrightarrow x=4[/TEX]

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

1.Tìm tất cả các số nguyên tố a,b,c sao cho:
[TEX]a^b+b^a=c[/TEX]

Nếu a, b cùng tính chẵn lẻ thì c=2 ( vô lí )

=> a, b khác tính chẵn lẻ

Gsử a=2, b lẻ [TEX]\Rightarrow 2^b+b^2=c \Rightarrow b=3[/TEX]

thay vào tính c

 

[star_music]

phantom_lady.vs.kaito_kid:bạn có thể giải rõ hơn ko?

 

[luckystudent97]

Bài 1:Giải:
Nếu a;b cùng là số nguyên tố chẵn thì a=b=2.Lúc đó a^b+b^a=2^2+2^2=8=c => c không là số nguyên tố (loại).
Nếu a;b cùng là số nguyên tố lẻ thì a^b có dạng 2k+1,b^a có dạng 2h+1 (k,h\ge \2 nên c có dạng 2k+2h+2 (là số chẵn > 2 không là số nguyên tố)(loại).
Vậy trong hai số a,b có một số = 2
Vai trò a,b như nhau nên giả sử a=2 thì b có dạng 2n+1.Ta có:
2^b+b^2=c <=> 2^(2n+1)+(2n+1)^2=c
Vì 2^(2n+1)+(2n+1)^2\vdots 3 (với mọi n>1) => c là số nguyên tố khi và chỉ khi n=1<=>b=2n+1=3=>c=17
Vậy (a,b,c)=(2,3,17);(3,2,17)