Toán 8 Toán 8

[harder & smarter]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho [tex]x(m+n)=y(n+p)=z(p+m)[/tex]. x,y,z khác nhau và khác 0
[tex]CMR[/tex]: [tex]\frac{m-n}{x(y-z)}=\frac{n-p}{y(z-x)}=\frac{p-m}{z(x-y)}[/tex]
Bài 2: Cho a+b=x+y và [tex]a^{2}+b^{2}=x^{2}+y^{2}[/tex]
[tex]CMR[/tex]: [tex]a^{2010}+b^{2010}=x^{2010}+y^{2010}[/tex]
Bài 3: Cho a>0, b>0 và a+b=1.
[tex]CMR[/tex]: [tex]\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\geq \frac{4}{3}[/tex]
Bài 4: [tex]CMR[/tex]: [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca[/tex]
Bài 5: Giải phương trình: [tex]|x+1|+|x-1|=1+|x^{2}-1|[/tex]
Bài 6: Giải phương trình: [tex]xy+y=x^{3}+x^{2}+7[/tex]
Bài 7: Cho [tex]\frac{x^{4}}{a}+\frac{y^{4}}{b}=\frac{1}{a+b}[/tex] và [tex]x^{2}+y^{2}=1[/tex]
[tex]CMR[/tex]: [tex]\frac{x^{2012}}{a^{1006}}+\frac{y^{2012}}{b^{1006}}=\frac{2}{(a+b)^{1006}}[/tex]
Bài 8: [tex]CMR[/tex]: [tex]x^{2}+y^{2}-xy\geq x+y-1[/tex]
Bài 9: Cho tam giác có nửa chu vi là [tex]p=\frac{a+b+c}{2}[/tex], biết rằng a,b,c là ba cạnh của tam giác
[tex]CMR[/tex]: [tex]\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/tex]
Bài 10: Giải phương trình: [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=y(x+z)[/tex]
Bài 11: Cho a+b=1. Tìm min [tex]A=a(a^{2}+2b)+b(b^{2}-a)[/tex]
@shorlochomevn@gmail.com @Hoàng Vũ Nghị @Tiến Phùng @bé nương nương @The key of love @Khôi Bùi @Trai Họ Nguyễn @Blue Plus @dangtiendung1201 @........

 

[tfs-akiranyoko]

Bài 3
Cauchy-Schwarz dạng phân thức
[tex]\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\geq \frac{(1+1)^2}{a+b+1+1}=\frac{4}{1+1+1}=\frac{4}{3}[/tex]
Câu 4
Nhân thêm 2 vào 2 vế rồi tương đương
Câu 8
như câu 3 cx nhân 2 ở 2 vế rồi tương đương
Câu 9
Dùng BĐT [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}[/tex]
có
[tex]\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\geq \frac{4}{p-a+p-b}=\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}\\\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\geq \frac{4}{a}\\\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-c}\geq \frac{4}{b}[/tex]
Cộng 3 vế trên có
[tex]2VT\geq 2.2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\rightarrow VT\geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/tex]
Câu 10
[tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=y(x+z) \rightarrow x^2+y^2+z^2-yx-yz=0\rightarrow (x-\frac{1}{2}y)^2+(z-\frac{1}{2}y)^2+\frac{1}{2}y^2=0[/tex]
mà
[tex](x-\frac{1}{2}y)^2+(z-\frac{1}{2}y)^2+\frac{1}{2}y^2\geq 0[/tex]
Dấu = xr khi x=y=z=0
Câu 11
[tex]A=a(a^{2}+2b)+b(b^{2}-a)=a^3+b^3+2ab-ab=(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab=a^2-ab+b^2-ab=a^2+b^2[/tex]
Có
[tex](a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2=1 \rightarrow 2(a^2+b^2)\geq 1 \rightarrow a^2+b^2\geq \frac{1}{2}[/tex]
Dấu = xr khi x=y=1/2

 

[Trâm Nguyễn Thị Ngọc]

Bài 1: Cho [tex]x(m+n)=y(n+p)=z(p+m)[/tex]. x,y,z khác nhau và khác 0
[tex]CMR[/tex]: [tex]\frac{m-n}{x(y-z)}=\frac{n-p}{y(z-x)}=\frac{p-m}{z(x-y)}[/tex]
Bài 2: Cho a+b=x+y và [tex]a^{2}+b^{2}=x^{2}+y^{2}[/tex]
[tex]CMR[/tex]: [tex]a^{2010}+b^{2010}=x^{2010}+y^{2010}[/tex]
Bài 3: Cho a>0, b>0 và a+b=1.
[tex]CMR[/tex]: [tex]\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\geq \frac{4}{3}[/tex]
Bài 4: [tex]CMR[/tex]: [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca[/tex]
Bài 5: Giải phương trình: [tex]|x+1|+|x-1|=1+|x^{2}-1|[/tex]
Bài 6: Giải phương trình: [tex]xy+y=x^{3}+x^{2}+7[/tex]
Bài 7: Cho [tex]\frac{x^{4}}{a}+\frac{y^{4}}{b}=\frac{1}{a+b}[/tex] và [tex]x^{2}+y^{2}=1[/tex]
[tex]CMR[/tex]: [tex]\frac{x^{2012}}{a^{1006}}+\frac{y^{2012}}{b^{1006}}=\frac{2}{(a+b)^{1006}}[/tex]
Bài 8: [tex]CMR[/tex]: [tex]x^{2}+y^{2}-xy\geq x+y-1[/tex]
Bài 9: Cho tam giác có nửa chu vi là [tex]p=\frac{a+b+c}{2}[/tex], biết rằng a,b,c là ba cạnh của tam giác
[tex]CMR[/tex]: [tex]\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/tex]
Bài 10: Giải phương trình: [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=y(x+z)[/tex]
Bài 11: Cho a+b=1. Tìm min [tex]A=a(a^{2}+2b)+b(b^{2}-a)[/tex]
@shorlochomevn@gmail.com @Hoàng Vũ Nghị @Tiến Phùng @bé nương nương @The key of love @Khôi Bùi @Trai Họ Nguyễn @Blue Plus @dangtiendung1201 @........

Câu 1:
Ta có: [tex]x(m+n)=y(n+p)=z(p+m)[/tex]
[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\frac{n+p}{x}=\frac{m+n}{y}=\frac{p-m}{x-y} \\ \frac{p+m}{x}=\frac{n+p}{z}=\frac{m-n}{y-z} \\ \frac{p+m}{y}=\frac{m+n}{z}=\frac{p-n}{x-z} \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\frac{p-m}{z(x-y)}=\frac{n+p}{xz} \\ \frac{m-n}{x(y-z)}=\frac{n+p}{xz}=\frac{m+p}{xy} \\ \frac{p-n}{y(x-z)}=\frac{p+m}{xy} \end{matrix}\right.[/tex]
=>m−n/x(y−z)=n−p/y(z−x)=p−m/z(x−y) (đpcm)
Câu 2:
Từ a+b=x+y
=>a-x=y-b
Mặt khác [tex]a^2+b^2=x^2+y^2[/tex]
[tex]\Rightarrow a^2-z^2=y^2-b^2[/tex]
[tex]\Rightarrow (a-x)(a+x)=(y-b)(y+b)[/tex]
[tex]\Rightarrow (a-x)(a+x)=(y+b)(a+x)[/tex]

Với [tex]\left\{\begin{matrix}a+b=x+y \\ a=x \end{matrix}\right.[/tex]
=>b=y=>a^2010+b^2010=x^2010+y^2010
Với [tex]\left\{\begin{matrix}a+x=b+y \\ a+b=x+y \end{matrix}\right.[/tex]
=>a=y=>y=x=> a^2010+b^2010=x^2010+y^2010

 

[shorlochomevn@gmail.com]

Bài 1: Cho [tex]x(m+n)=y(n+p)=z(p+m)[/tex]. x,y,z khác nhau và khác 0
[tex]CMR[/tex]: [tex]\frac{m-n}{x(y-z)}=\frac{n-p}{y(z-x)}=\frac{p-m}{z(x-y)}[/tex]
Bài 2: Cho a+b=x+y và [tex]a^{2}+b^{2}=x^{2}+y^{2}[/tex]
[tex]CMR[/tex]: [tex]a^{2010}+b^{2010}=x^{2010}+y^{2010}[/tex]
Bài 3: Cho a>0, b>0 và a+b=1.
[tex]CMR[/tex]: [tex]\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\geq \frac{4}{3}[/tex]
Bài 4: [tex]CMR[/tex]: [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca[/tex]
Bài 5: Giải phương trình: [tex]|x+1|+|x-1|=1+|x^{2}-1|[/tex]
Bài 6: Giải phương trình: [tex]xy+y=x^{3}+x^{2}+7[/tex]
Bài 7: Cho [tex]\frac{x^{4}}{a}+\frac{y^{4}}{b}=\frac{1}{a+b}[/tex] và [tex]x^{2}+y^{2}=1[/tex]
[tex]CMR[/tex]: [tex]\frac{x^{2012}}{a^{1006}}+\frac{y^{2012}}{b^{1006}}=\frac{2}{(a+b)^{1006}}[/tex]
Bài 8: [tex]CMR[/tex]: [tex]x^{2}+y^{2}-xy\geq x+y-1[/tex]
Bài 9: Cho tam giác có nửa chu vi là [tex]p=\frac{a+b+c}{2}[/tex], biết rằng a,b,c là ba cạnh của tam giác
[tex]CMR[/tex]: [tex]\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/tex]
Bài 10: Giải phương trình: [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=y(x+z)[/tex]
Bài 11: Cho a+b=1. Tìm min [tex]A=a(a^{2}+2b)+b(b^{2}-a)[/tex]
@shorlochomevn@gmail.com @Hoàng Vũ Nghị @Tiến Phùng @bé nương nương @The key of love @Khôi Bùi @Trai Họ Nguyễn @Blue Plus @dangtiendung1201 @........

bài 5:
-Xét với x< -1
[tex]|x+1|+|x-1|=1+|x^{2}-1|\\\\ <=> -(x+1)+(1-x)=1+x^2-1\\\\ <=> -x-1+1-x=x^2\\\\ <=> x^2+2x=0\\\\ <=> x(x+2)=0[/tex]
=> hoặc x=0 hoặc x=-2 mà x<-1 => x=-2
-Với -1<= x<1
[tex]|x+1|+|x-1|=1+|x^{2}-1|\\\\ <=> -(x+1)+(x-1)=1+(1-x^2)\\\\ <=> -2=2-x^2\\\\ <=> x^2=4 <=>...[/tex]
mà -1<= x <1 => loại
*với x>= 1
[tex]|x+1|+|x-1|=1+|x^{2}-1|\\\\ <=> x+1+x-1=1+x^2-1\\\\ <=> x^2-2x=0\\\\ <=> x(x-2)=0[/tex]
=> hoặc x=0 hoặc x=2 mà x>=1 => x=2
vậy....
bài 6:
giải phương trình hay phương trình nghiệm nguyên vậy??
nếu phương trình nghiệm nguyên:
có nhiều cách:
cách 1: chứng minh x khác -1 (thay -1 vào => vô lí)
rồi chia cả 2 vế cho x+1 => x+1 thuộc Ư(7)
=>...
cách 2: nhóm thôi....
[tex]xy+y=x^{3}+x^{2}+7\\\\ <=> y.(x+1)-x^2.(x+1)=7\\\\ <=> (x+1).(y-x^2)=7[/tex]
=>...
bài 7:
[tex]\frac{x^{4}}{a}+\frac{y^{4}}{b}=\frac{1}{a+b}\\\\ <=> \frac{x^4b+y^4a}{ab}=\frac{1}{a+b}\\\\ => abx^4+a^2y^4+b^2x^4+aby^4=ab\\\\ <=> ab(x^4+y^4-1)+a^2y^4+b^2x^4=0[/tex]
mặt khác: [tex]x^{2}+y^{2}=1\\\\ <=> (x^{2}+y^{2})^2=1\\\\ <=> x^4+2x^2y^2+y^4=1\\\\ <=> x^4+y^4=1-2x^2y^2[/tex]
[tex]ab(x^4+y^4-1)+a^2y^4+b^2x^4=0\\\\ <=> ab.(1-2x^2y^2-1)+a^2y^4+b^2x^4=0\\\\ <=> a^2y^4-2abx^2y^2+b^2x^4=0\\\\ <=> (ay^2-bx^2)^2=0\\\\ <=> ay^2=bx^2\\\\ <=>\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}=\frac{x^2+y^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}\\\\ => (\frac{x^2}{a})^{1006}=(\frac{y^2}{b})^{1006}=(\frac{1}{a+b})^{1006}[/tex]
=> đpcm