Câu 1:
BĐT cần c/m <=> $a^{4}+b^{3}-a^{3}b-ab^{3}\geq 0\Leftrightarrow a^{3}(a-b)+b^{3}(b-a)\geq 0\Leftrightarrow (a-b)(a^{3}-b^{3})\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^{2}(a^{2}+ab+b^{2})\geq 0$ luôn đúng
Câu 2:
a thuộc [-1;2] [tex]\Rightarrow (a+1)(a-2)\leq 0\Rightarrow a^{2}-a-2\leq 0\Leftrightarrow a^{2}\leq a+2[/tex]
Tương tự: $b^{2}\leq b+2$ và $c^{2}\leq c+2$
Suy ra: [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq a+2+b+2+c+2=6[/tex] (đpcm) vì a+b+c=0
Câu 3:
Xem lại đề. Với [tex]a=\frac{1}{2};b=\frac{1}{2}[/tex] thỏa mãn [tex]a+b\geq 1[/tex] thì [tex]a^{2}+b^{2}=\frac{1}{2}[/tex] ( trái với điều cần chứng minh)
Câu 4:
$\Leftrightarrow 4(a^{3}+b^{3})\geq (a+b)^{3}$
$\Leftrightarrow 3(a^{3}+b^{3})\geq 3(a^{2}b+b^{2}a)$
$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}-a^{2}b+b^{2}a\geq 0$
$\Leftrightarrow a^{2}(a-b)+b^{2}(b-a)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)(a^{2}-b^{2})\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^{2}(a+b)\geq 0$luôn đúng
Câu 5:
Áp dụng BĐT phụ [tex]4ab\leq (a+b)^{2}[/tex] ta được:
[tex]4(1-x)(1-z)\leq (2-x-z)^{2}=(1+y)^{2}[/tex] vì x+y+z=1
[tex]\Rightarrow 4(1-x)(1-y)(1-z)\leq (1+y)^{2}(1-y)=(1-y)^{2}(1+y)\leq 1+y=x+2y+z[/tex] (đpcm)
Câu 6:
ĐKXĐ: x khác -1
Pt đã cho [tex]\Leftrightarrow k(x+2).3.(k-1)=x+1\Leftrightarrow 3k^{2}x-3kx+6k^{2}-6k=x+1\Leftrightarrow x(3k^{2}-3k-1)+6k^{2}-6k-1=0[/tex] (*)
Để pt đã cho có nghiệm âm <=> pt (*) có nghiệm duy nhất âm <=> [tex]3k^{2}-3k-1[/tex] khác 0 và [tex]x=\frac{1+6k-6k^{2}}{3k^{2}-3k-1}<0[/tex]
.....
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
