Bài 7:
a) Biểu thức A
ĐK: $\left\{\begin{matrix} x \neq 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \neq 0 \\ x \neq 2 \end{matrix}\right.$
$A=\dfrac{x^2}{x-2} \left ( \dfrac{x^2 +4}{x} - 4 \right ) +3 \\
= \dfrac{x^2}{x-2} .\dfrac{x^2-4x+4}{x} +3 \\
= \dfrac{x^2}{x-2} .\dfrac{(x-2)^2}{x} +3 \\
= x(x-2) +3 \\
= x^2-2x+3$
Biểu thức B
ĐK: $\left\{\begin{matrix} x \neq 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \neq 0 \\ x \neq -2 \end{matrix}\right.$
$B = \dfrac{(x+2)^2}{x} \left ( 1 - \dfrac{x^2}{x+2} \right ) - \dfrac{x^2+6x+4}{x} \\
= \dfrac{(x+2)^2}{x} . \dfrac{x+2-x^2}{x+2} - \dfrac{x^2+6x+4}{x} \\
= \dfrac{(x+2)^2}{x} . \dfrac{-(x^2+x-2)}{x+2} - \dfrac{x^2+6x+4}{x} \\
= \dfrac{(x+2)^2}{x} . \dfrac{-(x+1)(x-2)}{x+2} - \dfrac{x^2+6x+4}{x} \\
= \dfrac{-(x+2)(x+1)(x-2)}{x} - \dfrac{x^2+6x+4}{x} \\
= \dfrac{-(x^2-4)(x+1)}{x} - \dfrac{x^2+6x+4}{x} \\
= \dfrac{-(x^3+x^2-4x-4) - (x^2+6x+4)}{x} \\
= \dfrac{-x^3-x^2+4x+4 - x^2-6x-4}{x} \\
= \dfrac{-x^3-2x^2-2x}{x} \\
=-x^2-2x-2$
b)
+ $A = x^2 - 2x + 3 = (x-1)^2+2$
Ta có $(x-1)^2 \geq 0, \ \forall x \\ \Rightarrow (x-1)^2 +2 \geq 2, \ \forall x$
Do đó $A_{min} = 2 \Leftrightarrow x = 1$
+ $B = -x^2-2x-2 = -(x^2+2x+2) = -\left [ (x+1)^2 +1 \right ] = -(x+1)^2-1$
Ta có: $(x+1)^2 \geq 0, \ \forall x \\ \Rightarrow -(x+1)^2 \leq 0, \ \forall x \\
\Rightarrow -(x-1)^2-1 \leq -1, \ \forall x$
Do đó $B_{max} = -1 \Leftrightarrow x = -1$
c)
$A+B = (x^2-2x+3)+(-x^2-2x-2) = -4x+1$
$A+B=0 \Leftrightarrow -4x +1 = 0 \\
\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}$
d)
$A = B \Leftrightarrow x^2-2x+3 = -x^2-2x-2 \\
\Leftrightarrow 2x^2+5=0$
$\Leftrightarrow x^2 = - \dfrac{5}{2}$ (Vô lý)
Vậy không tồn tại $x$ để $A = B$.
Bài 8:
$M=\dfrac{x-2}{x+3}-\dfrac{5}{(x+2)(x+3)}$
a) M có nghĩa $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x +2 \neq 0 \\ x + 3 \neq 0 \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \neq -2 \\ x \neq -3 \end{matrix}\right.$
b) $M=\dfrac{x-2}{x+3}-\dfrac{5}{(x+2)(x+3)} \\
= \dfrac{(x-2)(x+2)-5}{(x+2)(x+3)} \\
= \dfrac{x^2-4-5}{(x+2)(x+3)} \\
=\dfrac{x^2-9}{(x+2)(x+3)} \\
=\dfrac{(x-3)(x+3)}{(x+2)(x+3)} \\
=\dfrac{x-3}{x+2}$
c)
$M = 4 \Leftrightarrow \dfrac{x-3}{x+2} = 4 \\
\Leftrightarrow x-3 = 4(x+2) \\
\Leftrightarrow 3x+11=0 \\
\Leftrightarrow x = - \dfrac{11}{3}$
d) $M = \dfrac{x-3}{x+2} = \dfrac{x+2-5}{x+2} = 1 - \dfrac{5}{x+2}$
$M$ nguyên $\Leftrightarrow \dfrac{5}{x+2} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x+2 \in$Ư(5)$= \{ -5;-1;1;5 \}$
$x+2 = -5 \Leftrightarrow x = -7$ (nhận) $\Rightarrow M = 2$
$x+2 = -1 \Leftrightarrow x = -3$ (loại)
$x+2 = 1 \Leftrightarrow x = -1$ (nhận) $\Rightarrow M = -4$
$x+2 = 5 \Leftrightarrow x = 3$ (nhận) $\Rightarrow M = 0$
Vậy để $M$ nguyên thì:
$x = -7 \Rightarrow M = 2$
$x = -1 \Rightarrow M = -4$
$x = 3 \Rightarrow M = 0$
Bài 3:
$A = \dfrac{3x^3+6x^2}{x^3+2x^2+x+2}$
a) $x^3+2x^2+x+2 = x(x^2+1) + 2(x^2+1) = (x^2+1)(x+2)$
Vì $x^2+1 \geq 1 > 0, \ \forall x$
Nên để $A$ xác định thì $x+2 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -2$
b) $A = \dfrac{3x^3+6x^2}{x^3+2x^2+x+2} \\
= \dfrac{3x^2(x+2)}{(x^3+x)+(2x^2+2)} \\
= \dfrac{3x^2(x+2)}{x(x^2+1)+2(x^2+1)} \\
= \dfrac{3x^2(x+2)}{(x+2)(x^2+1)} \\
= \dfrac{3x^2}{x^2+1} \\
= \dfrac{3x^2+3-3}{x^2+1} \\
= 3 - \dfrac{3}{x^2+1}$
Ta có $x^2+1 \geq 1, \ \forall x \\
\Rightarrow \dfrac{1}{x^2+1} \leq 1, \ \forall x \\
\Rightarrow \dfrac{3}{x^2+1} \leq 3, \ \forall x \\
\Rightarrow \dfrac{-3}{x^2+1} \geq -3, \ \forall x \\
\Rightarrow 3 - \dfrac{3}{x^2+1} \geq 0, \ \forall x$
Vậy với mọi giá trị xác định của $x$ thì giá trị của $A$ luôn xác định và luôn không âm.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
