[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Ta có:
$\sum \frac{1}{1-ab}=\sum\frac{1}{a^2+b^2+c^2-ab}\leq \sum \frac{1}{c^2+ab}$
Do đó cần chứng minh:
$\sum \frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{9}{2(1+9abc-abc)}$ $(1)$
Lại có:
$\sum \frac{1}{c^2+ac} \geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}\geq \frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{9}{2}$ $(2)$
Nhân theo vế $(1)$ và $(2)$ ta cần phải chứng minh:
$\frac{9}{2(1+9abc-abc)}\geq \frac{9}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{1+9abc-abc}\geq 1$
$\Leftrightarrow a+b+c \geq 9abc$
Mà ta có: $a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}$
Cần cm: $3\sqrt[3]{abc}\geq 9abc$
$\Leftrightarrow 1 \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$
Tuy nhiên BĐT này luôn đúng do: $\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}=\frac{1}{3}$
Do đó ta có đpcm. Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\sum \frac{1}{1-ab}=\sum\frac{1}{a^2+b^2+c^2-ab}\leq \sum \frac{1}{c^2+ab}$
Do đó cần chứng minh:
$\sum \frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{9}{2(1+9abc-abc)}$ $(1)$
Lại có:
$\sum \frac{1}{c^2+ac} \geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}\geq \frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{9}{2}$ $(2)$
Nhân theo vế $(1)$ và $(2)$ ta cần phải chứng minh:
$\frac{9}{2(1+9abc-abc)}\geq \frac{9}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{1+9abc-abc}\geq 1$
$\Leftrightarrow a+b+c \geq 9abc$
Mà ta có: $a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}$
Cần cm: $3\sqrt[3]{abc}\geq 9abc$
$\Leftrightarrow 1 \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$
Tuy nhiên BĐT này luôn đúng do: $\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}=\frac{1}{3}$
Do đó ta có đpcm. Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
