Toán 8

[kimphuong1032]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho a, b,c, d là các số nguyên dương thỏa mãn $a^2 + c^2 = b^2 + d^2$. Chứng minh a + b = c+d là một hợp số
Bài 2: Tìm 2 số nguyên tố x, y biết $x^2 = 2y^2 + 1$
Bài 3: Chứng minh: không có 3 số tự nhiên x, y, z nào thỏa mãn: $4x^2 + 4x = 8y^3 - 2z^2 + 4$
Bài 4: Chứng minh: tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9
Bài 5: Chứng minh: $x^2 + 5y^2 + 2x - 4xy - 10y + 14 > 0$ với mọi x

 

[vipboycodon]

Bài 5:
$x^2+5y^2+2x-4xy-10y+14 $
= $x^2+2x(1-2y)+(1-2y)^2+y^2-6y+13 $
= $(x+1-2y)^2+y^2-6y+9+4 $
= $(x+1-2y)^2+(y-3)^2+4 \ge 4 > 0$

 

[huy14112]

Bài 4 bạn gọi tổng lập phương 3 số nguyên liên tiếp là $a^3+(a+1)^3+(a+2)^3$

Sau đó phá tung tóe ra rồi biến đổi

$a^3+(a+1)^3+(a+2)^3= 3(a+1)(a+2)(a+3)-9(a+1)^2$

$(a+1)(a+2)(a+3) \vdots 3 \rightarrow 3(a+1)(a+2)(a+3) \vdots 9 $

Mình mới làm nháp nó ra như thế nhá , không biết có đúng hay không =))

 

[forum_]

2/

$x^2 = 2y^2 + 1$

\Rightarrow x lẻ.

Đặt x = 2k+1

$(2k+1)^2 = 2y^2+1$

\Leftrightarrow $2k(k+1) = y^2$

\Rightarrow $y^2$ chia hết cho 2 => y chia hết cho 2, mà y nguyên tố

\Rightarrow y = 2. Thay vào, tìm đc x = 3 (thỏa mãn)

Vậy (x;y)= (2;3)

 

[congchuaanhsang]

2/

$x^2 = 2y^2 + 1$

\Rightarrow x lẻ.

Đặt x = 2k+1

$(2k+1)^2 = 2y^2+1$

\Leftrightarrow $2k(k+1) = y^2$

\Rightarrow $y^2$ chia hết cho 2 => y chia hết cho 2, mà y nguyên tố

\Rightarrow y = 2. Thay vào, tìm đc x = 3 (thỏa mãn)

Vậy (x;y)= (2;3)

Số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1

*Nếu x chia 3 dư 0

x nguyên tố \Rightarrow x=3\Rightarrowy=2 (thỏa mãn)

*Nếu x chia 3 dư 1

thì $2y^2+1$ chia 3 dư 1\Leftrightarrowy chia hết cho 3

\Rightarrowy=3 (vì y nguyên tố)\Rightarrow$x^2=19$ (loại)

Vậy (x;y)=(3;2)

 

[forum_]

3/

Mẹo tí thôi =))

$4x^2+4x= 8y^3 - 2z^2 + 4$

\Leftrightarrow $4x^2+4x + 2z^2= 8y^3 + 4$

Khi z lẻ, đặt z = 2k+1

$VT = 4x(x+1) + 2(2k+1)^2 = 4x(x+1) + 8k^2 + 8k + 2$

=> VT chia 8 dư 2

VP chia 8 dư 4

\Rightarrow Vô nghiệm

Khi z chẵn , đặt z = 2k

Dễ thấy VT chia hết cho 8, VP chia 8 dư 4

\Rightarrow Vô nghiệm

Vậy pt đã cho vô nghiệm !!!!

 

[casidainganha]

Bài 5

Bài 5: Chứng minh: $x^2$+$5y^2$+2x−4xy−10y+14>0 với mọi x
Ta có $x^2$+$5y^2$+2x−4xy−10y+14
= $x^2$+2x-4xy+$5y^2$-10y+14
= $x^2$+2x(1-2y)+$(1-2y)^2$-1+4y-$4y^2$+$5y^2$-10y+14
=$(x+1-2y)^2$+$y^2$-6y+9+4>0 với \forallx,y
Thanks nha:khi (79)::khi (79)::khi (79)::khi (79)::khi (79):

 

[0973573959thuy]

Bài 1 mình nghĩ bạn gõ nhầm.

Đề đúng phải là :

Cho các số nguyên dương a,b,c,d thỏa : $a^2 + c^2 = b^2 + d^2$. CMR: a +b + c + d là hợp số.

Giải:

Xét : $A = (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) - (a + b + c + d) = a(a - 1) + b(b - 1) + c(c - 1) + d(d - 1)$

Do a,b,c,d là có số nguyên dương nên a(a - 1); b(b - 1); c(c - 1); d(d - 1) là tích của 2 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2

$\rightarrow A = (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) - (a + b + c + d) \vdots 2$ (1)

Lại có : $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = (a^2 + c^2) + (b^2 + d^2) = 2(a^2 + c^2) \vdots 2$ (do $a, c \in Z^+$) (2)

Từ (1); (2) suy ra a + b + c + d chia hết cho 2. Mà a + b + c + d > 2 (do a,b,c,d là các số nguyên dương) nên a + b + c + d là hợp số (đpcm)