Toán 8

[phuong_july]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x, y, z > 0 thoả mãn
x.y.z=1 và $x+y+z> \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$
CMR: có 1 và chỉ 1 trong 3 số x, y, z lớn hơn 1.

 

[congchuaanhsang]

Ta có: x+y+z>$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$

\Leftrightarrowx+y+z>$\dfrac{xy+yz+xz}{xyz}$=$xy+yz+xz$

\Leftrightarrow$x+y+z-xy-yz-xz$>0\Leftrightarrow$x+y+z-xy-yz-xz-1+xyz$>0

\Leftrightarrow$x(1-y)-(1-y)+z(1-y)-xz(1-y)$>0\Leftrightarrow$(1-y)(x-1+z-xz)$>0

\Leftrightarrow$(x-1)(y-1)(z-1)$>0

\RightarrowTrong 3 số x-1 ; y-1 ; z-1 có 1 hoặc cả 3 số dương

Mà xyz=1 nên ko thể xảy ra cả 3 số cùng dương

\RightarrowTrong 3 số x-1 ; y-1 ; z-1 có duy nhất 1 số dương\Rightarrowđpcm