[Toán 8]

[pe_chau_hocgioi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cmr: [TEX]a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \ge 4abcd[/TEX] với mọi số thực a,b,c,d.
2. Cho 3 số a,b,c biết rằng a+b+c = 0 và abc =1. Tính [TEX]a^3 + b^3 + c^3[/TEX].
3. Cmr: nếu x+y = 1 và x,y khác 1 thì [TEX]\frac{y}{x^3-1}-\frac{x}{y^3-1}=\frac{2(x-y)}{x^2y^2+3}{[/TEX].

 

[pe_lun_hp]

Bài 1:

$\left\{\begin{matrix}a^4 + b^4 + c^4 + d^4 ≥ 2a^2b^2 + 2c^2d^2\\ a^2b^2 + c^2d^2 ≥ 2abcd\end{matrix}\right. \rightarrow (đpcm)$

 

[soicon_boy_9x]

Bài 2:

Ta có:

$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$

$\rightarrow a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c-c)(a+b+c-b)(a+b+c-
a)=0+3abc=3$

 

[soicon_boy_9x]

Bài 3:

$\dfrac{y}{x^3-1}-\dfrac{x}{y^3-1}=\dfrac{y}{x^3-(x+y)^3}-\dfrac{x}{y^3-(x+y)^3}$

$=\dfrac{x}{3x^2y+3xy^2+x^3}-\dfrac{y}{3x^2y+3xy^2+y^3}=
\dfrac{1}{x^2+3y(x+y)}-\dfrac{1}{y^2+3x(x+y)}$

$=\dfrac{1}{x^2+3y}-\dfrac{1}{y^2+3x}=\dfrac{y^2+3x-x^2-3y}
{(x^2+3y)(y^2+3x)}$

$=\dfrac{y-x+3x-3y}{x^2y^2+3x^3+3y^3+9xy}=\dfrac{2(x-y)}{x^2y^3+3(x+y)^3-9xy(x+y)+9xy}=\dfrac{2(x-y)}{x^2y^2+3}(dpcm)$

 

[soicon_boy_9x]

Bài 1:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 4 số ta được:

$a^4+b^4+c^4+d^4 \geq 4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4abcd(dpcm)$

 

[sieumau88]

Bài 2: Cho 3 số $a,b,c$ biết rằng
$\boxed{a+b+c = 0}$ và $\boxed{abc =1}$ . Tính $a^3 + b^3 + c^3$.

...............................

CÁCH KHÁC

Ta có $a+b+c=0$ \Leftrightarrow $a+b= -c$
\Leftrightarrow $(a+b)^3 = (-c)^3$
\Leftrightarrow $a^3 + b^3 + 3ab . (a+b) = -c^3$
\Leftrightarrow $a^3 + b^3 + c^3 + 3ab . (-c) = 0$
\Leftrightarrow $a^3 + b^3 + c^3 = 3 . abc$
\Leftrightarrow$a^3 + b^3 + c^3 = 3 . 1$
Vậy $a^3 + b^3 + c^3 = 3$

 

[sieumau88]

Bài 3: Cmr nếu $\boxed{x+y = 1}$ và $x,y$ khác 1 thì
$\dfrac{y}{x^3-1}-\dfrac{x}{y^3-1}=\dfrac{2(x-y)}{x^2y^2+3}$.

CÁCH KHÁC

Ta có:
$VT=\dfrac{y^4 -y-x^4+x}{x^3y^3+1 -(x^3+y^3)} = \dfrac{(x-y)-(x^4-y^4)}{x^3y^3+1 -(x+y).[(x+y)^2-3xy]}$

$=\dfrac{(x-y)-(x+y).(x-y).(x^2+y^2)}{x^3y^3+1 -(1-3xy)} =\dfrac{(x-y)-(x-y).[x^2+(1-x)^2]}{x^3y^3+3xy}$

$=\dfrac{(x-y).(1-2x^2+2x-1)}{xy.(x^2y^2+3)}=\dfrac{(x-y).2x.(-x+1)}{xy.(x^2y^2+3)}$

$=\dfrac{(x-y).2x.y}{xy.(x^2y^2+3)}=\dfrac{2(x-y)}{x^2y^2+3}=VP$


Kết luận...........................vậy ........