Toán 8

[tiendat102]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho a,b là các số dương thỏa mãn :
[TEX]a+b\geq 6.[/TEX]
Tìm giá trị nhỏ nhất của : [TEX]a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}[/TEX]

Bài 2: cho tam giác ABC đều, có cạnh bằng 6 , M thuộc BC , BM vuông góc với AB, ME vuông góc với AC. CM: a, MD+ME không đổi
b, tìm giá trị lớn nhất của diện tích MDE

 

[angleofdarkness]

Bài 1: Cho a,b là các số dương thỏa mãn :
[TEX]a+b\geq 6.[/TEX]
Tìm giá trị nhỏ nhất của : [TEX]a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}[/TEX]

Có [tex] (a-b)^2\geq 0[/tex] [tex]\forall[/tex] a, b nên [tex] a^2 + b^2\geq 2ab[/tex].
=> [tex] (a+b)^2\geq 4ab[/tex].
Hay [tex] 36\geq 4ab[/tex] => [tex] 9\geq ab[/tex].
=> [TEX]\frac{1}{ab}\geq\frac{1}{9}[/TEX]

[TEX]a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}[/TEX]
= (a+b) + ([TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}[/TEX])

= (a+b) + [TEX]\frac{a+b}{ab}[/TEX]

[TEX]\geq 6 + \frac{6}{9}[/TEX]
Tức [TEX]a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}[/TEX]\geq [TEX]\frac{20}{3}[/TEX].

@Đúng thì cho cái thank nha các bạn! Xin lỗi vì spam.

 

[elf_1999]

coi thử hộ tuj xem đúng ko nha

Áp dụng tính chất: Tổng 2 số nghịch đảoluôn \geq 2 ta có
a + 1/a + b+ 1/b = (a + 1/a) + ( b + 1/b) \geq 2+2
\geq 4
Vậy giá trị nhỏ nhất là 4

 

[nguyengiahoa10]

Bài 1: Cho a,b là các số dương thỏa mãn :
[TEX]a+b\geq 6.[/TEX]
Tìm giá trị nhỏ nhất của : [TEX]a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}[/TEX]

Dễ dàng chứng minh được BĐT sau:
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\]
Áp dụng:
\[\left\{ \begin{array}{l}
a + b \ge {6_{(1)}}\\
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge {\frac{2}{3}_{(2)}}\]
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:
\[a + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{b} \ge 6\frac{2}{3} = \frac{{20}}{3}\]
Dấu "=" xảy ra \[\left\{ \begin{array}{l}
a = b\\
a + b \ge 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \ge 3\\
b \ge 3
\end{array} \right.\]

 

[rocket97]

Có [tex] (a-b)^2\geq 0[/tex] [tex]\forall[/tex] a, b nên [tex] a^2 + b^2\geq 2ab[/tex].
=> [tex] (a+b)^2\geq 4ab[/tex].
Hay [tex] 36\geq 4ab[/tex] => [tex] 9\geq ab[/tex].
=> [TEX]\frac{1}{ab}\geq\frac{1}{9}[/TEX]

[TEX]a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}[/TEX]
= (a+b) + ([TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}[/TEX])

= (a+b) + [TEX]\frac{a+b}{ab}[/TEX]

[TEX]\geq 6 + \frac{6}{9}[/TEX]
Tức [TEX]a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}[/TEX]\geq [TEX]\frac{20}{3}[/TEX].

@Đúng thì cho cái thank nha các bạn! Xin lỗi vì spam.

Bài làm của bạn đúng rồi nhưng bạn cần phải thêm điều kiện dấu "=" xảy ra giống như nguyengiahoa10. Có 1 số bài dấu "=" lại không xảy ra (do không thỏa mãn đk của đề bài) nên không tìm được GTNN.
p/s: bạn để code latex trong dấu đô la sẽ đẹp hơn

 

[thaonguyenkmhd]

Bài 1:

Ta có: $a+\dfrac{1}{a}+b+\dfrac{1}{b}=(\dfrac{1}{9}a+ \dfrac{1}{a})+(\dfrac{1}{9}b+\dfrac{1}{b})+\dfrac{8}{9}(a+b)$

Theo bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương có: $\dfrac{1}{9}a+ \dfrac{1}{a} \ge 2\sqrt{\dfrac{1}{9}a.\dfrac{1}{a}}=2.\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\\\dfrac{1}{9}b+ \dfrac{1}{b} \ge 2\sqrt{\dfrac{1}{9}b.\dfrac{1}{b}}=2.\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$

Do $a+b \ge 6 \Longrightarrow \dfrac{8}{9}(a+b)\ge \dfrac{8}{9}.6=\dfrac{16}{3}$

Cộng từng vế các bđt trên có $(\dfrac{1}{4}a+ \dfrac{1}{a})+(\dfrac{1}{4}b+\dfrac{1}{b})+\dfrac{3}{4}(a+b) \ge \dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{16}{3}\\ \Longleftrightarrow a+\dfrac{1}{a}+b+\dfrac{1}{b} \ge \dfrac{20}{3}$

( Dấu = xảy ra khi $a \ge 3; \ b \ge 3$ )

 

[nghgh97]

Áp dụng tính chất: Tổng 2 số nghịch đảoluôn \geq 2 ta có
a + 1/a + b+ 1/b = (a + 1/a) + ( b + 1/b) \geq 2+2
\geq 4
Vậy giá trị nhỏ nhất là 4

Bạn làm như vậy là chưa đúng. Cách đánh giá của bạn trong TH bình thường là đúng nhưng đề bài còn có thêm 1 điều kiện nữa mà bạn cần chú ý: $\boxed{a + b \geq 6}$
Cách ngắn gọn nhất là của nguyengiahoa10 nhưng phải dùng đến BĐT phụ (cần chứng minh nó nữa). Bài làm hoàn chỉnh thì bạn nên tham khảo của thaonguyenkmhd.

 

[thaonguyenkmhd]

Bài 2:

a/ Kẻ $AH \perp BC ( H \in BC )$

Ta có $\Delta MBD \sim \Delta ABH ( \widehat{D}=\widehat{H}=90^o; \widehat{B} \ \text{chung} ) \to \dfrac{MD}{AH}=\dfrac{MB}{AB} \ (1)$

Ta có $\Delta MCE \sim \Delta ACH ( \widehat{E}=\widehat{H}=90^o; \widehat{C} \ \text{chung} ) \to \dfrac{ME}{AH}=\dfrac{MC}{AC} \ (2)$

Từ (1); (2) $\to \dfrac{MD}{AH}+\dfrac{ME}{AH}=\dfrac{MB}{AB}+ \dfrac{MC}{AC}\\ \to \dfrac{MD+ME}{AH}=\dfrac{MB+MC}{AC}=\dfrac{BC}{AC}=1 \ (\text{do tam giác ABC đều})\\ \to MD+ME=AH$

Do $\Delta ABC \ \text{đều} \ \to \ \text{đường cao AH còn là trung tuyến} \ \to BH=\dfrac{BC}{2}=3 cm$

Theo định lý Pytago trong $ \Delta ABH (\widehat{H}=90^o) \ \text{có}$

$AH^2+BH^2=AB^2 \to AH^2=AB^2-BH^2=6^2-3^2=27 \\ \to AH=\sqrt{27} \to MD+ME=\sqrt{27}$

Vậy $MD+ME=\sqrt{27} \ (\text{không đổi.})$

b/ Kẻ $EK \perp DM ( K \in DM ) $

Xét $ \Delta BMD \ \text{có} \ \widehat{D}=90^o; \widehat{B}=60^o \to \widehat{BMD}=30^o \to \widehat{HMK}=30^o (\text{đối đỉnh})$

Tương tự có $\widehat{CME}=30^o \to \widehat{EMK}=\widehat{HMK}+\widehat{CME}=60^o$

Xét $ \Delta EMK \ \text{có} \ \widehat{K}=90^o; \widehat{EMK}=60^o \to \widehat{MEK}=30^o \to MK=\dfrac{1}{2}ME$

Theo định lí Pytago có $EK^2+MK^2=ME^2 \to EK^2=ME^2-\dfrac{1}{4}ME^2=\dfrac{3}{4}ME^2 \to EK=\dfrac{\sqrt3}{2}ME$

Ta có $S_{MDE}=\dfrac{MD.EK}{2}=\dfrac{MD.\dfrac{\sqrt3}{2}ME}{2}=\dfrac{\sqrt3}{4}MD.ME$

Lại có $AH=MD+ME \ge 2\sqrt{MD.ME} \to AH^2 \ge 4MD.ME \ (\text{Bđt Côsi} )\\ \to MD.ME \le \dfrac{AH^2}{4} \to S_{MDE}=\dfrac{\sqrt3}{4}MD.ME \le \dfrac{\sqrt3.27}{16}\\ \to \ \text{Max}_{S_{MDE}} =\dfrac{\sqrt3.27}{16}$

Dấu = xảy ra khi M là trung điểm BC.