[ toán 8]

[doremonmeou]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Phân tích đa thức [TEX](x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3[/TEX] thành nhân tử.
2) CMR: nếu a,b,c là độ dài các cạnh của 1 tam giác thì [TEX]2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4[/TEX] là số dương.

 

[thaiha_98]

Bài 1:
Đặt $a=x-y , b=y-z , c=z-x$
\Rightarrow $a+b+c=0$
Đa thức cần phân tích trở thành:
$a^3+b^3+c^3$
$=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3$
$=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)$
$=(a+b+c)^3-3(a+b)c(a+b+c)-3ab(a+b)$
$=-3ab(a+b)$
$=3abc$
Do đó: $(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 = 3(x-y)(y-z)(z-x)$

 

[soicon_boy_9x]

Bài 1:
Áp dụng đẳng thức

$(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3-3(x-y)(y-z)(z-x)$$=(x-y+y-z+z-x)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x^2)-(x-y)(y-z)-(y-z)(z-x)-(z-x)(x-y)] \\ =0.[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x^2)-(x-y)(y-z)-(y-z)(z-x)-(z-x)(x-y)]=0$
$\rightarrow (x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=3(x-y)(y-z)(z-x)$

 

[capycathy]

Đổi lại đi chứng minh vế đối của nó âm.
Ta sẽ phân tích được vế đối của nó bằng: (a^2 - b^2 - c^2)^2 - 4 bc^2
Sau đó áp dụng hằng đảng thức phân tích được thành:
[(a^2 - (b+c)^2] . [a^2 - (b-c)^2]
Lại áp dụng hằng đẳng thức, cuối cùng áp dụng bất đẳng thức trong tam giác

 

[nguyenphuongthao28598]

fhnfgn

bài 2
có a^4+b^4\geq2a^2b^2
b^4+c^4\geq2b^2c^2
a^4+c^4\geq2a^2c^2
\Rightarrowa^4+b^4+c^4\geqa^2b^2+c^2b^2+a^2b^2
Áp dụng bdt trong tam giác ta có
b+c lớn hơn a
\Rightarrow(b+c)a^3 lớn hơn a^4
tương tự
(a+c)b^3 lớn hơn b^4
(a+b)c^3 lớn hơn c^4

\Rightarrow a^4+b^4+c^4 nhỏ hơn ba(a^2+b^2)+ca(a^2+c^2)+bc(b^2+c^2)
có a^2+b^2\geq2ab
\Rightarrowba(a^2+b^2)+ca(a^2+c^2)+bc(b^2+c^2) \geq2(a^2b^2+c^2b^2+a^2c^2)
2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-(a^2b^2+a^2c^2+c^2b^2)\geq2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4) lớn hơn 2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-2(a^2b^2+a^2c^2+c^2b^2)

a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\geq2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4) lớn hơn 0

\Rightarrownếu a,b,c là độ dài các cạnh của 1 tam giác thì

là số dương.

 

[coganghoctapthatgioi]

Bài 2 nè!
[TEX]2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4[/TEX]
=[TEX]2a^2b^2-2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4+4b^2c^2[/TEX]
=[TEX]4b^2c^2-(a^2-b^2-c^2)[/TEX]
=[TEX](2bc-a^2+b^2+c^2)(2bc+a^2-b^2-c^2)[/TEX]
=[TEX][(b+c)^2-a^2][a^2-(b-c)^2][/TEX]
Ta có: b+c>a và a>b-c
nên [TEX](b+c)^2-a^2[/TEX]>0 và[TEX] a^2-(b-c)^2[/TEX]>0
\Rightarrow đpcm