$a^2+b^2+c^2+3=2(a+b+c)$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2a-2b-2c+3=0$
$\Leftrightarrow (a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)+(c^2-2c+1)=0$
$\Leftrightarrow (a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2=0$
$\Leftrightarrow (a-1)^2=(b-1)^2=(c-1)^2=0$
$\Leftrightarrow a-1=b-1=c-1=0$
$\Leftrightarrow a=b=c=1$
$(a+b+c)^2=3(ab+ac+bc)$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+bc=3ab+3ac+3bc$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0$
$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0$
$\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)=0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0$
$\Leftrightarrow a-b=b-c=c-a=0$
$\Leftrightarrow a=b=c$