Toán 8

[coganghoctapthatgioi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số thực dương
CMR [TEX]\frac{a^2}{3a^2+8b^2+14ab}+\frac{b^2}{3b^2+8c^2+14bc}+\frac{c^2}{3c^2+8a^2+14ac}\geq \frac{3}{25}[/TEX]

 

[nguyenphuongthao28598]

rtytỷh

ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAU-SI TA CÓ
a^2/(3a^2+8b^2+14ab) + b^2/(3b^2+8c^2+14bc) + c^2/(3c^2+8a^2+14ac)\geq(a+b+c)^2/[ 11(a^2+b^2+c^2) +14(ac+ab+bc)]
CÓ a^2+b^2+c^2\geq ac+ab+bc

\Rightarrow (a+c+b)^2\geq 3(bc+ab+ac)

11(a^2+b^2+c^2) + 14(bc+ac+ab) \geq 25(ab+bc+ac)

\Rightarrow ĐẲNG THỨC TRÊN \geq3(ac+bc+ab)/25(ac+ab+bc)=3/25

DẤU = XẢY RA KHI VÀ CHỈ KHI a=b=c
NẾU ĐÚNG BẤM CHO MÌNH NHA!
@daovuquang: ngược dấu rồi )

 

[daovuquang]

Giải như sau:
[TEX]\sum{\frac{a^2}{3a^2+8b^2+14ab}}=\sum{\frac{1}{3+8\frac{b^2}{a^2}+14\frac{b}{a}}}[/TEX]

Đặt [TEX]\frac{b}{a}=m,\frac{c}{b}=n,\frac{a}{c}=p[/TEX]

Do đó cần chứng minh [TEX]\sum{\frac{1}{8m^2+14m+3}}\geq \frac{3}{25}[/TEX] [TEX](1)[/TEX]

Do [TEX]mnp=1[/TEX] nên đổi biến [TEX]m=\frac{xy}{z^2}; n=\frac{yz}{x^2},p=\frac{zx}{y^2}[/TEX]

Khi ấy [TEX](1)[/TEX] tương đương

[TEX]\sum{\frac{z^4}{8x^2y^2+14xyz^2+3z^4}}\geq \frac{3}{25}[/TEX]

Áp dụng Cauchy-schwarz ta có

[TEX]\sum{\frac{z^4}{8x^2y^2+14xyz^2+3z^4}}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\sum{(8x^2y^2+14xyz^2+3z^4)}}[/TEX]

Do đó cần chứng minh

[TEX]\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\sum{(8x^2y^2+14xyz^2+3z^4)}}\geq \frac{3}{25}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 16(x^4+y^4+z^4)+26(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)-42xyz(x+y+z)\geq 0[/TEX] [TEX](2)[/TEX]

Mặt khác do Cauchy ta có [TEX]16(x^4+y^4+z^4)\geq 16xyz(x+y+z)[/TEX] và [TEX]26(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)\geq 26xyz(x+y+z)[/TEX] suy ra [TEX](2)[/TEX] đúng nên có đpcm

Dấu = khi [TEX]x=y=z \rightarrow m=n=p=1 \rightarrow a=b=c[/TEX]