[Toán 8] Vòng III "MẬT MÃ TOÁN HỌC"

[hoa_giot_tuyet]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

post sớm hơn xí

Câu 1. a) Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số 1. C/m [TEX]ab - 2 \vdots \ 3[/TEX]
b) Cho a+b+c = 0. Chứng minh a(a+b)(a+c) = b(b+c)(b+a) = c(c+a)(c+b)

Câu 2. Chứng minh
a) [TEX]81^7 - 27^9 - 9^{13} \ \vdots \ 405[/TEX]
b) [TEX]12^{2n+1} + 11^{n+2} \ \vdots \ 133[/TEX]

Câu 3. Giải phương trình
a) [TEX]x^5 = x^4+x^3+x^2+2[/TEX]
b) [TEX]|x+1| + 3|x-1| = x+2 + |x| + 2|x-2|[/TEX]

Câu 4. Cho tam giác ABC. Lấy D,E thuộc AB,AC sao cho [TEX]\frac{AD}{AB} = \frac{CE}{CA}[/TEX]. M là trung điểm DE. Chứng minh M nằm trên đường thẳng cố định

Câu 5. Giải phương trình nghiệm nguyên [TEX]\frac{x+y}{x^2-xy+y^2} = \frac{3}{7}[/TEX]

Rút kinh nghiệm ra đề ngắn rồi đó :-"

Vì hạn nay cả tớ và nhiều bạn khác bận ít có thưòi gian nên thưòi gian nộp bài là 10 ngày tức là 20h ngày 30/3 (thứ ba )

Chú ý:
Thí sinh gửi bài làm theo 2 cách sau:
Cách 1: Gửi trực tiếp bài giải cho hoa_giot_tuyet tại đây. <~ click

Cách 2: Soạn bằng file Word và gửi về email : thiensu_snowdrop@yahoo.com

 

[hoa_giot_tuyet]

[Toán 8] Đáp án vòng III

Đáp án vòng III :x
Câu 1. Ta có tính chất: Một số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 3 (tương tự với số dư). Do đó ta đặt a = 3k + 1 và b = 3k + 2
Suy ra [TEX]ab - 2 = (3k+1)(3k+2) - 2 \ \vdots \ 3[/TEX]

Câu 2. [TEX]x^5 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^5 - 2x^4 + x^4 - 2x^3 + x^3 - 2x^2 + x^2 - 2x + x - 2 = 0[/TEX][/SIZE][/FONT]
[TEX]\Leftrightarrow (x-2)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = 0[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow (x-2)[(x^2 + \frac{x}{2})^2 + (\frac{x}{2} + 1)^2 + \frac{x^2}{2}] =0[/TEX]
Vì [TEX](x^2+\frac{x}{2})^2 \geq 0; (\frac{x}{2} + 1)^2 \geq 0; \frac{x^2}{2} \geq 0[/TEX]
và chúng ko đồng thời bằng 0 nên
x - 2 = 0
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là 2

b, |x+1|+3|x-1|=x+2+|x|+2|x-2|
+, [TEX]x\leq-1 \Rightarrow (*): -x-1+3(1-x)=x+2-x+2(2-x)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2x=-4 \Leftrightarrow x=-2 (t/m)[/TEX]
+, -1 < x < 0 [TEX] \Rightarrow (*): x+1+3(1-x)=x+2-x+2(2-x)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 0x=0 [/TEX]( đúng với mọi -1<x<0)
+, [TEX]0 \leq x \leq 1 \Rightarrow (*): x+1+3(1-x)=x+2+x+2(2-x)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=-1[/TEX] (ko t/m)
+, 1<x<2 [TEX]\Rightarrow (*):x+1+3(x-1)=x+2+x+2(2-x)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=2[/TEX]
+, [TEX]x \geq 2 \Rightarrow (*):x+1+3(x-1)=x+2+x+2(x-2)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 0x=0[/TEX] (đúng với mọi x2)
4, Kẻ DN//AC
[TEX]\frac{AD}{AB}=\frac{NC}{CB}[/TEX]
Mà [TEX]\frac{AD}{AB}=\frac{EC}{CA}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{NC}{CB}=\frac{EC}{CA}[/TEX]
NE//AB
AEND là hbh trung điểm M của DE cũng là trung điểm của AN
Từ M kẻ đg thg //BC cắt AB, AC tại P, Q
P, Q là trg điểm của AB, AC
Do đó M thuộc PQ là đg thg cố định
Câu 4.
Cách 1.

4, Kẻ DN//AC

[TEX]\frac{AD}{AB}=\frac{NC}{CB}[/TEX]
Mà [TEX]\frac{AD}{AB}=\frac{EC}{CA}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{NC}{CB}=\frac{EC}{CA}[/TEX]
NE//AB
AEND là hbh trung điểm M của DE cũng là trung điểm của AN
Từ M kẻ đg thg //BC cắt AB, AC tại P, Q
P, Q là trg điểm của AB, AC
Do đó M thuộc PQ là đg thg cố định

Cách 2. Vẽ DF//BC thế thì [TEX]\frac{AD}{AB} = \frac{AF}{AC}[/TEX] mà [TEX]\frac{AD}{AB} = \frac{CE}{CA}[/TEX] do đó À = CE
Qua M vẽ đường thẳng song song với BC cắt AC tại N, ta có FN = NE
Do đó M đi qua đường trung bình tam giác ABC là đường cố định
Câu 5. Biến đổi có
Cách 1. Đổi biến u = x+y, v = x-y ta đưa phương trình về dạng [TEX]28u = 3(u^2+3v^2) (1)[/TEX]
Từ (1) chứng minh u chia hết cho 9 và 0 u 9 suy ra u = 0 hoặc u = 9 rồi thay vào
Cách 2. Xem phương trình đã cho là phương trình bậc 2 đối với x
[TEX]3x^2 - (3y+7)x + 3y^2 - 7y = 0 (2)[/TEX]
Rồi dùng [TEX]\Delta[/TEX] để (2) có nghiệm nguyên thì biệt thức [TEX]\Delta [/TEX] phải là số chính phương. Từ đó tìm được y
Đáp án (x;y) = (4;5) hoặc (5;4)

 

[hoa_giot_tuyet]

1.a, gt tổng các c/số của a và b=31 và 38

a chia 3 dư 1, b chia 3 dư 2 a=3k+1, b=3q+2

[TEX] ab-2=(3k+1)(3q+2)-2=9qk+3q+6k+2-2=9qk+3q+6k \vdots\ 3[/TEX]

đpcm

b, gt [TEX]\Rightarrow a+b=-c, a+c=-b[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a(a+b)(a+c)=a(-c)(-b)=abc[/TEX]

[TEX]t^2 \Rightarrow b(a+b)(b+c)=c(a+c)(b+c)=abc[/TEX]

đpcm

2.a, [TEX]81^7-27^9+9^{13}=3^{28}-3^{27}-3^{26}=3^{26}(9-3-1)=5.3^4.3^{22}=405.3^{22} \vdots\ 405[/TEX]

b, [TEX]12^{2n+1}+11^{n+2}=12.144^n+121.11^n=133.144^n-121.144^n+121.11^n=133.144^n-121(144^n-11^n) \vdots\ 133[/TEX]

3. a, [TEX]x^5=x^4+x^3+x^2+x+2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^5-1=x^4+x^3+x^2+x+1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)-(x^4+x^3+x^2+x+1)=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x-2)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0[/TEX]

Mà [TEX]x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+\frac{1}{2}x)^2+(\frac{1}{2}x+1)^2+\frac{1}{2}x^2 > 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x-2=0 \Leftrightarrow x=2[/TEX]

b, |x+1|+3|x-1|=x+2+|x|+2|x-2|

+, [TEX]x\leq-1 \Rightarrow (*): -x-1+3(1-x)=x+2-x+2(2-x)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2x=-4 \Leftrightarrow x=-2 (t/m)[/TEX]

+, -1 < x < 0 [TEX] \Rightarrow (*): x+1+3(1-x)=x+2-x+2(2-x)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 0x=0 [/TEX]( đúng với mọi -1<x<0)

+, [TEX]0 \leq x \leq 1 \Rightarrow (*): x+1+3(1-x)=x+2+x+2(2-x)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x=-1[/TEX] (ko t/m)

+, 1<x<2 [TEX]\Rightarrow (*):x+1+3(x-1)=x+2+x+2(2-x)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x=2[/TEX]

+, [TEX]x \geq 2 \Rightarrow (*):x+1+3(x-1)=x+2+x+2(x-2)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 0x=0[/TEX] (đúng với mọi x2)

4, Kẻ DN//AC

[TEX]\frac{AD}{AB}=\frac{NC}{CB}[/TEX]

Mà [TEX]\frac{AD}{AB}=\frac{EC}{CA}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{NC}{CB}=\frac{EC}{CA}[/TEX]

NE//AB

AEND là hbh trung điểm M của DE cũng là trung điểm của AN

Từ M kẻ đg thg //BC cắt AB, AC tại P, Q

P, Q là trg điểm của AB, AC

Do đó M thuộc PQ là đg thg cố định

5. [TEX]x^2-xy+y^2>0[/TEX] nên x+y>0

Đặt x+y=3k, [TEX]x^2-xy+y^2=7k[/TEX] (k>0)

[TEX]7k=x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy=9k^2-3xy \vdots\ 3[/TEX]

Mà (7;3)=1 nên [TEX]k\vdots\ 3[/TEX]

Lại có [TEX]9k^2-7k=3xy[/TEX]

mà [TEX]4xy \leq (x+y)^2=9k^2 \Rightarrow 3xy \leq \frac{27k^2}{4}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 9k^2-7k \leq \frac{27k^2}{4}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 28k-9k^2 \geq 0 \Leftrightarrow k(9k-28) \leq 0[/TEX]

Mà k>0 nên 9k-280

k3

Do đó k=3

Từ đó x+y=9, [TEX]x^2-xy+y^2=21[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x+y=9, xy=20[/TEX]

dễ dàng tìm đc (x;y)=(4;5) và hoán vị của nó

Mọi người có thể tham khảo bài của hell_angel_1997 :M02: hâm mộ quá :M037:

100đ :x

 

[hoa_giot_tuyet]

a chia 3 du 1

b chia 3 du 2

=> ab chia 3 du 2

=> ab - 2 chia het 3



b) a + b + c= 0

a + b = - c

a + c = -b

b +c = - a

thay cai ni vo dc ca ba ve = abc





2)

[TEX]8^21 - 27^9 - 9^13 = 3^26.5 = 81.5.3^23[/TEX] chia het 405



đc bao nhiêu ru`i bà !

máy tui bị lỗi nên ko đánh text đc ! Viet lúc co dấu luc ko ! thong cam !

1a) làm quá vắn tắt



25đ [/SIZE][/FONT][/COLOR]

 

[hoa_giot_tuyet]

Bài 1: a)[TEX]ab-2 = (\frac{10^{31}-1}{9})(\frac{10^{38}-1}{9}-2 = \frac{(10^{31} -1)(10^{38}-1)-162}{81}[/TEX]

Ta thấy [TEX]10^{31}-1 =\begin{matrix}\underbrace{999 \cdots 9}\\30 \end{matrix} [/TEX]

[TEX]10^{31}-1 \vdots 3 [/TEX]

[TEX](10^{31} -1)(10^{38}-1) \vdots 3[/TEX]

Mà [TEX]162 \vdots 3[/TEX] và [TEX]81 \vdots 3[/TEX]

[TEX]\frac{(10^{31} -1)(10^{38}-1)-162}{81} \vdots 3[/TEX]

dpcm

b) Vì a+b+c =0

[TEX] \Rightarrow \left{\begin{a+b=-c}\\{b+c=-a}\\{c+a=-b}[/TEX]

Do đó [TEX]a(a+b)(a+c)=a(-c)(-b)=abc[/TEX]

[TEX]b(b+c)(b+a)=b(-a)(-c)=abc[/TEX]

[TEX]c(c+a)(c+b)=c(-b)(-a)=abc[/TEX]

a(a+b)(a+c)=b(b+c)(b+a)=c(c+a)(c+b)

Bài 2: a) ta có [TEX]81^7-27^9-9^{13}=3^{28}-3^{27}-3^{26}=3^{26}(3^2-3-1)=3^{22}.3^4.5=3^{22}.405 \vdots 405[/TEX]

b) Với n=1 ta có [TEX]12^3+11^3=3059 \vdots 133[/TEX]

mệnh đề đúng với n=1

Giả sử mệnh đề đúng với n=k (k>1, k [TEX]\in[/TEX] N), nghĩa là

[TEX]12^{2k+1}+11^{k+2} \vdots 133[/TEX]

Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1,

ta có [TEX]12^{2k+3}+11^{k+3}=144(12^{2k+1}+11^{k+2})-133.11^{k+2} \vdots 133[/TEX]

Vậy theo nguyên lí quy nạp thì mệnh đề đúng với n [TEX]\in[/TEX] N

Bài 3: b) /x+1/ +3/x-1/=x+2+/x/ +2/x-2/ (1)

Với x<-1 ta có phương trình (1) là -4x+2 =-2x+8 2x=-6 x=-2 (thoả mãn)

Với -1 x<0 ta có phương trình (1) là -2x +4= -2x+8 0x=4 (vô nghiệm)

Với 0x<1 thì phương trình (1) là -2x+4= 8 -2x=4 x=-2 (L)

Với 1x<2 thì phương trình (1) là 4x-2=8 4x=10 x= 2,5 (L)

Với x> 2 thì phương trình (1) là 4x-2 = 4x-2 0x =0 (luôn đúng)

vậy phương trình có tập nghiệm là x=-2 và x>2

Bài 4: kéo dài AM cắt BC tại N

vì [TEX]\frac{AD}{AB}=\frac{CE}{CA}[/TEX] DE//BC (định lí Ta-lét đảo)

Vì ME//NC theo hệ quả định lí Ta-lét thì [TEX]\frac{ME}{NC}=\frac{AM}{AN}[/TEX] (1)

Vì MD// BN, theo hệ quả định lí Ta-lét ta được [TEX]\frac{DM}{BN}=\frac{AM}{AN}[/TEX] (2)

Từ (1) và (2) suy ra [TEX]\frac{ME}{NC}=\frac{DM}{BN}[/TEX]

Mà ME=DM NC=BN AN là trung tuyến của tam giác ABC kẻ từ A

AN cố định mà M thuộc AN M nằm trên đường thẳng cố định

Đến đây đã, mai post típ

Bài 1 hơi dài

Bài 4 bạn hơi nhầm thì phải ^^ ko áp dụng Ta-lét đảo dc

55 điểm

 

[hoa_giot_tuyet]

1,b,

a+b+c=0 a+b=-c;a+c=-b;b+c=-a

a(a+b)(a+c)=a(-b)(-c)=abc

b(b+a)(b+c)=(-a)b(-c)=abc

c(c+a)(c+b)=c(-a)(-b)=abc

dpcm

2,a,

[TEX]81^7-27^9-9^13=(3^4)^7-(3^3)^9-(3^2)^{13}=3^28-3^27-3^26=3^{26}.5=405.3^22.5[/TEX]chia het cho 405 dpcm

3,a

[TEX]x^5=x^4+x^3+x^2+2 \Leftrightarrow -x^5+x^4+x^3+x^2+2=0 \\ \Leftrightarrow -x^4(x-1)+x^2(x+1)+(x+1)-(x-1)=0 \\ \Leftrightarrow (x-1)(1-x^4)+(X+1)(x^2+1)=0 \\ \Leftrightarrow (1-x)(x^2+1)(1-x)(1+x)+(x+1)(x^2+1)=0 \\ \Leftrightarrow (x^2+1)(x+1)[(1-x)(x-1) +1]=0 \\ \Leftrightarrow(x^2+1)(x+1)x(x+2)=0[/TEX](4)

Do [TEX]x^2+1 \geq 1 voi \forallx[/TEX]

nen pt (4) co nghiem x=0;x+1=0 va x+2=0 x=-1;x=-2 va x=0

vay..........................

may kg viet co dau duoc!!!!!!!!!

3,

b,

[TEX]\mid x+1\mid +3\mid x-1\mid =x+2+\mid x\mid +2\mid x-2\mid \\ \Leftrightarrow (x+1)^2+3(x-1)^2=x+2+x^2+2(x-2)^2 \\ \Leftrightarrow x^2+2x+1+3x^2-6x+3-x-2-x^2-2x^2+8x-4=0 \\ \Leftrightarrow x^2+3x-6=0 \\ \Leftrightarrow (x-1,5-\sqrt{8,25})(x-1,5+\sqrt{8,25}) \\ \Leftrightarrow \left{\begin{x= \sqrt {8,25}+1,5}\\{x=-\sqrt{8,25}+1,5}[/TEX]


~> :| sai ùi nè

1,a

Ta có :

Tổng các chữ số của 1 số khi chia 3 đồng dư với số đó chia 3

a có 31 chữ số

=> a có dạng 3k +1

Tương tự b = 3k + 2

ab =(3k +1)(3k +2) = 9k^2+9k + 2=9k(k+1)+2

ab - 2 =9k(k+1)+2 - 2 = 9k(k+1) chia hết cho 3 ab-2 chia het cho 3(đpcm)



Lần đầu tiên làm kiểu này!!!!!!!!!Xem có sai kg nha!!!!!!!!!!!!!!

tui gui cho pa duoc cau 1,2a,3,5

Câu 5 bạn gửi nhưng sai

~~> Tổng điểm 40 điểm

p/s: chấm vội nên xem có sai ko nhá :-*

 

[hoa_giot_tuyet]

Tổng kết: có 4 bài gửi

_hell_angel_1997 100đ :x
_quynhnhung81 55 điểm
_conangbuongbinh_97 40đ
_thienlong_cuong 25 đ

Một mật mã sẽ đc gửi :x mọi ng` nộp đáp án vào tin nhắn riêng cho mình nhé

 

[quynhnhung81]

Tổng kết: có 4 bài gửi

_hell_angel_1997 100đ :x
_quynhnhung81 55 điểm
_conangbuongbinh_97 40đ
_thienlong_cuong 25 đ

Một mật mã sẽ đc gửi :x mọi ng` nộp đáp án vào tin nhắn riêng cho mình nhé

Cho mình hoi khi nào hết hạn nộp mật mã vậy********************************************************?????????