[Toán 8] Với mọi x, y, z chứng minh: $x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx$

[baconvuive]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

· Với mọi x, y, z chứng minh: x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx

 

[luuquangthuan]

Nhân 2 cho mỗi vế ta được
2[TEX]x^2[/TEX]+2[TEX]y^2[/TEX]+2[TEX]z^2[/TEX][TEX]\geq[/TEX]2xy + 2yz+ 2zx
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX][TEX]x^2[/TEX]-2xy +[TEX]y^2[/TEX]+ [TEX]y^2[/TEX] - 2yz + [TEX]z^2[/TEX]+ [TEX]z^2[/TEX]-2xz+[TEX]x^2[/TEX][TEX]\geq[/TEX]0
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX][TEX](x-y)^2[/TEX]+[TEX](y-z)^2[/TEX]+[TEX](z-x)^2[/TEX][TEX]\geq[/TEX]0 điều này đúng
[TEX]\Rightarrow[/TEX]dpcm
Nhớ thanks nghen bạn.

 

[phumanhpro]

câu post lại đề đi

 

[kool_boy_98]

Nhân 2 cho mỗi vế ta được
2[TEX]x^2[/TEX]+2[TEX]y^2[/TEX]+2[TEX]z^2[/TEX][TEX]\geq[/TEX]2xy + 2yz+ 2zx
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX][TEX]x^2[/TEX]-2xy +[TEX]y^2[/TEX]+ [TEX]y^2[/TEX] - 2yz + [TEX]z^2[/TEX]+ [TEX]z^2[/TEX]-2xz+[TEX]x^2[/TEX][TEX]\geq[/TEX]0
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX][TEX](x-y)^2[/TEX]+[TEX](y-z)^2[/TEX]+[TEX](z-x)^2[/TEX][TEX]\geq[/TEX]0 điều này đúng
[TEX]\Rightarrow[/TEX]dpcm
Nhớ thanks nghen bạn.

Nguời ta đang cần chứng minh [TEX]x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx[/TEX] cơ mà, sao lại nhân 2 vô 2 vế của BDT?

Chúng ta phải chứng minh ngược lại:

Ta có: [TEX](x-y)^2[/TEX]+[TEX](y-z)^2[/TEX]+[TEX](z-x)^2[/TEX][TEX]\geq[/TEX]0

\Rightarrow [TEX]x^2[/TEX]-2xy +[TEX]y^2[/TEX]+ [TEX]y^2[/TEX]-2yz+[TEX]z^2[/TEX]+[TEX]z^2[/TEX]-2xz+[TEX]x^2[/TEX][TEX]\geq 0[/TEX]

\Rightarrow 2[TEX]x^2[/TEX]+2[TEX]y^2[/TEX]+2[TEX]z^2[/TEX][TEX]\geq[/TEX][TEX]2xy + 2yz+ 2zx[/TEX]

\Rightarrow [TEX]2.(x^2+y^2+z^2)\geq 2.(xy+yz+zx)[/TEX]

\Rightarrow [TEX]x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx[/TEX] (chia cả hai vế của BPT cho 2) (đpcm)

________________

Chúc bạn học tốt!

 

[congnhatso1]

không phải
nhân 2 vào 2 vế của BDT cũng được mak
do đây là phép chứng minh tương đương, các BDT mới màk đúng thì vẫn được
đến cái cuối cùng là luôn luôn đúng là được
vì vậy, bài của kool_boy_98 và luuquangthuan đều đúng cả

 

[kool_boy_98]

không phải
nhân 2 vào 2 vế của BDT cũng được mak
do đây là phép chứng minh tương đương, các BDT mới màk đúng thì vẫn được
đến cái cuối cùng là luôn luôn đúng là được
vì vậy, bài của kool_boy_98 và luuquangthuan đều đúng cả

Cái này bạn hơi nhầm nhé!

Người ta đang cần chứng minh [TEX]x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx[/TEX] cơ mà, nếu sử dụng cách chứng minh của luuquanthuan thì còn gì phải chứng minh nữa (nhân cả hai vế của BDT với 2- tức là bạn ấy lấy cái điều người ta cần chứng minh để thành khẳng định của mình)...

Mình rất vụng diễn đạt, mong bạn hiểu những gì mình nói!

 

[daovuquang]

Nguời ta đang cần chứng minh [TEX]x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx[/TEX] cơ mà, sao lại nhân 2 vô 2 vế của BDT?

Chúng ta phải chứng minh ngược lại:

Ta có: [TEX](x-y)^2[/TEX]+[TEX](y-z)^2[/TEX]+[TEX](z-x)^2[/TEX][TEX]\geq[/TEX]0

\Rightarrow [TEX]x^2[/TEX]-2xy +[TEX]y^2[/TEX]+ [TEX]y^2[/TEX]-2yz+[TEX]z^2[/TEX]+[TEX]z^2[/TEX]-2xz+[TEX]x^2[/TEX][TEX]\geq 0[/TEX]

\Rightarrow 2[TEX]x^2[/TEX]+2[TEX]y^2[/TEX]+2[TEX]z^2[/TEX][TEX]\geq[/TEX][TEX]2xy + 2yz+ 2zx[/TEX]

\Rightarrow [TEX]2.(x^2+y^2+z^2)\geq 2.(xy+yz+zx)[/TEX]

\Rightarrow [TEX]x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx[/TEX] (chia cả hai vế của BPT cho 2) (đpcm)

________________

Chúc bạn học tốt!

Bạn kool_boy_98 chưa hiểu vấn đề, do đây là phép biến đổi tương đương nên làm từ đâu cũng được cả.:-S

 

[kool_boy_98]

Bạn kool_boy_98 chưa hiểu vấn đề, do đây là phép biến đổi tương đương nên làm từ đâu cũng được cả.:-S

Trời ạ, càng giải thích mọi người càng không hiểu %-(

Nói ngắn gọn 1 lần nữa nhé~

Người ta đang yêu cầu chứng mnh a \geq b đúng không (Vd cho dễ hiểu) ?

Nếu các bạn nhân cả 2 vế với 2 thì khác nào BDT a \geq b là đúng không cần phải chứng minh thêm.......

Nào, daovuquang, bây giờ nói mình nghe xem ai chưa hiểu vấn đề nhỉ? :x

 

[minhtuyb]

Trời ạ, càng giải thích mọi người càng không hiểu %-(

Nói ngắn gọn 1 lần nữa nhé~

Người ta đang yêu cầu chứng mnh a \geq b đúng không (Vd cho dễ hiểu) ?

Nếu các bạn nhân cả 2 vế với 2 thì khác nào BDT a \geq b là đúng không cần phải chứng minh thêm.......

Nào, daovuquang, bây giờ nói mình nghe xem ai chưa hiểu vấn đề nhỉ? :x

Đây là cm tương đương em ạ!
Làm như bạn luuquang là đúng đó.
Trên thực tế, ưa dùng cách cm tương đương hơn cách làm ngược của em.
Nó hoàn toàn đúng mà.

 

[beconvaolop]

Trời ạ, càng giải thích mọi người càng không hiểu %-(

Nói ngắn gọn 1 lần nữa nhé~

Người ta đang yêu cầu chứng mnh a \geq b đúng không (Vd cho dễ hiểu) ?

Nếu các bạn nhân cả 2 vế với 2 thì khác nào BDT a \geq b là đúng không cần phải chứng minh thêm.......

Nào, daovuquang, bây giờ nói mình nghe xem ai chưa hiểu vấn đề nhỉ? :x

a\geqb-->[TEX]\frac{a}{2}\geq\frac{b}{2}[/TEX]
Nếu chứng minh 2 lần vế trái lớn hơn 2 lần vế phải thì--> vế trái lớn hơn vế phải

 

[meomiutiunghiu]

Trời ạ, càng giải thích mọi người càng không hiểu %-(

Nói ngắn gọn 1 lần nữa nhé~

Người ta đang yêu cầu chứng mnh a \geq b đúng không (Vd cho dễ hiểu) ?

Nếu các bạn nhân cả 2 vế với 2 thì khác nào BDT a \geq b là đúng không cần phải chứng minh thêm.......

Nào, daovuquang, bây giờ nói mình nghe xem ai chưa hiểu vấn đề nhỉ? :x

Trời ạ, càng giải thích bạn càng không hiểu %-(

Nói "dễ hiểu" 1 lần nữa nhé~
Bạn nói :
Người ta đang yêu cầu chứng mnh a \geq b đúng không (Vd cho dễ hiểu) ?
Nếu các bạn nhân cả 2 vế với 2 thì khác nào BDT a \geq b là đúng không cần phải chứng minh thêm......"

nếu cm được khi nhân cả 2 vế với 2 mà BDT 2a\geq2b đúng thì a\geqb là đúng chứ nếu ko cm dc 2a\geq2b đúng thì BDT a\geqb chưa chắc đúng
Cố hiểu nhá

 

[11thanhkhoeo]

$(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2\geq 0$ (luôn đúng)

$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\geq 0$ (nhân phá )
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+ac+bc$(rút gọn và chuyển vế)
"Tắt smile trong đoạn văn" nhé anh

 

[changruabecon]

Cô giáo mình bảo, làm theo cách nào cũng đúng cả. Nhưng mà, thường thì người ta hay làm theo cách cảu bạn kool_boy_98 hơn, vì nố thuận hơn. Chứ biến đổi tương đương thì chỉ nên nháp ở ngoài để định hướng cách làm cho mình thui, vì biến đổi tương đương dễ mất điểm nếu như không lập luận chặt chẽ.

Mem không được dùng màu chữ đỏ!
Thân~

 

[ruas2nhim]

xét hiệu 2 vế dc không ạ
bài này mình toàn làm vậy chuyển hết sang 1 bên bên còn lại bằng không

 

[thaonhib4]

Trời ạ, càng giải thích mọi người càng không hiểu %-(

Nói ngắn gọn 1 lần nữa nhé~

Người ta đang yêu cầu chứng mnh a \geq b đúng không (Vd cho dễ hiểu) ?

Nếu các bạn nhân cả 2 vế với 2 thì khác nào BDT a \geq b là đúng không cần phải chứng minh thêm.......

Nào, daovuquang, bây giờ nói mình nghe xem ai chưa hiểu vấn đề nhỉ? :x

Hiểu í bạn nói rồi ok?
Nhưng bạn hơi bị lập trình hóa rồi (hơi máy móc_sr trước nha)
Cách chứng minh của 2 bạn đều đúng
mình thấy cách của luuquang chuẩn rồi đó
bạn ấy nhân với 2 nhưng bạn ấy đã cm nó đúng rồi còn gì nữa.
khi mìn biến đổi tương đương khẳng định được cái sau cùng đúng là kết luận được cái cần chứng minh đúng. Hiểu chứ?
Nên nhớ là biến đổi tương đương-> nó ko phá vỡ cái gì của bđt đã cho cả...............><

 

[Nguyễn Thị Ngọc Tú]

Nhân 2 cho mỗi vế ta được
2[TEX]x^2[/TEX]+2[TEX]y^2[/TEX]+2[TEX]z^2[/TEX][TEX]\geq[/TEX]2xy + 2yz+ 2zx
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX][TEX]x^2[/TEX]-2xy +[TEX]y^2[/TEX]+ [TEX]y^2[/TEX] - 2yz + [TEX]z^2[/TEX]+ [TEX]z^2[/TEX]-2xz+[TEX]x^2[/TEX][TEX]\geq[/TEX]0
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX][TEX](x-y)^2[/TEX]+[TEX](y-z)^2[/TEX]+[TEX](z-x)^2[/TEX][TEX]\geq[/TEX]0 điều này đúng
[TEX]\Rightarrow[/TEX]dpcm
Nhớ thanks nghen bạn.

Có cách giải khác không ạ giúp mk với

Nguời ta đang cần chứng minh [TEX]x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx[/TEX] cơ mà, sao lại nhân 2 vô 2 vế của BDT?

Chúng ta phải chứng minh ngược lại:

Ta có: [TEX](x-y)^2[/TEX]+[TEX](y-z)^2[/TEX]+[TEX](z-x)^2[/TEX][TEX]\geq[/TEX]0

\Rightarrow [TEX]x^2[/TEX]-2xy +[TEX]y^2[/TEX]+ [TEX]y^2[/TEX]-2yz+[TEX]z^2[/TEX]+[TEX]z^2[/TEX]-2xz+[TEX]x^2[/TEX][TEX]\geq 0[/TEX]

\Rightarrow 2[TEX]x^2[/TEX]+2[TEX]y^2[/TEX]+2[TEX]z^2[/TEX][TEX]\geq[/TEX][TEX]2xy + 2yz+ 2zx[/TEX]

\Rightarrow [TEX]2.(x^2+y^2+z^2)\geq 2.(xy+yz+zx)[/TEX]

\Rightarrow [TEX]x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx[/TEX] (chia cả hai vế của BPT cho 2) (đpcm)

________________

Chúc bạn học tốt!

Có ai có cách giải khác ko giúp mk vs

 

[Quân (Chắc Chắn Thế)]

Có ai có cách giải khác ko giúp mk vs

[tex]\\ 2\sum x^2=\sum (x^2+y^2)\geq \sum 2xy=2\sum xy \\ \Rightarrow \sum x^2\geq \sum xy[/tex]

"=" [TEX]x=y=z[/TEX]


*edit:
chú thích:
[TEX]\sum x =x+y+z[/TEX]
[TEX]\sum xy =xy+yz+zx[/TEX]
......