[Toán 8] Tổng hợp các bài toán khó

[braga]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho [TEX]\frac{x}{a}= \frac{b}{y}= \frac{z}{c} \not= 0[/TEX].

Rút gọn biểu thức: [TEX]P= \frac{(x^{2}+ y^{2}+ z^{2})(a^{2}+ b^{2}+ c^{2})}{(ax+ by+ cz)^2}[/TEX]

Bài 2:Tìm tất cả các số thực (x;y;z) thỏa mãn các điều kiện:

[TEX]x=\frac{4z^{2}}{1+4z^{2}} \ ; \ y=\frac{4x^{2}}{1+4x^{2}} \ ; \ z=\frac{4y^{2}}{1+4y^{2}}[/TEX]

Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên [TEX]a, b, c[/TEX] thõa mãn [TEX]a^{2}+ b^{2}+ c^{2}= a^{2} b^{2}.[/TEX]

 

[minhtuyb]

Bài 1:
-Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 bộ (a;b;c) và (x;y;z), ta có:
[TEX](x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)\geq (ax+by+cz)^2[/TEX]
-Theo gt:[TEX]\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\neq 0\Rightarrow [/TEX] BĐT trên đã xảy ra ở trường hợp dấu bằng, tức là ra có:
[TEX](x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)= (ax+by+cz)^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P=1[/TEX]
Bài 2:
-Nhận thấy [TEX]x=y=z=0[/TEX] là một bộ số thỏa mãn
-Với [TEX]x,y,z\neq 0[/TEX], ta có:
[TEX]x=\frac{4z^2}{1+4z^2}\leq ^{AM-GM}\frac{4z^2}{2\sqrt{4z^2.1}}=\frac{4z^2}{4z}=z \Rightarrow x\leq z(1)[/TEX]
-Tương tự ta có:
[TEX]y=\frac{4x^{2}}{1+4x^{2}}\Rightarrow y\leq x(2)[/TEX]
[TEX]z=\frac{4y^{2}}{1+4y^{2}}\Rightarrow z\leq y(3)[/TEX]
-Từ [TEX](1);(2);(3)\Rightarrow x\leq y\leq z\leq x\Rightarrow x=y=z[/TEX]
-Vậy mọi bộ số [TEX]x=y=z[/TEX] đều thỏa mãn đề bài
Bài 3:
Chắc là theo hướng này: giả sử [TEX]a\leq b\leq c[/TEX]
Khi làm đc anh sẽ edit sau