[Toán 8] Tồn tại hay không $a^3+b^3=2013$

[thamyy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

tồn tại hay không hai số nguyên dương a và b thỏa mãn a^3+b^3=2013

 

[forum_]

^0^

Ta có: $(a+b)^3 = a^3 + b^3+ 3ab.(a+b) = 2013 + 3ab.(a+b)$ chia hết cho 3

Do đó: $(a+b)^3$ chi hết cho 3

\Rightarrow (a + b) chia hết cho 3

\Rightarrow $(a+b)^3$ chia hết cho 27.

Ta có: 3ab.(a+b) chia hết cho 9

\Rightarrow 2013 = $(a+b)^3 - 3ab.(a+b)$ chia hết cho 9: vô lý vì 2013 chia 9 dư 6

\Rightarrow Không tồn tại hay hai số nguyên dương a và b thỏa mãn đề bài

 

[congchuaanhsang]

Ta có: $(a+b)^3 = a^3 + b^3+ 3ab.(a+b) = 2013 + 3ab.(a+b)$ chia hết cho 3

Do đó: $(a+b)^3$ chi hết cho 3

\Rightarrow (a + b) chia hết cho 3

\Rightarrow $(a+b)^3$ chia hết cho 27.

Ta có: 3ab.(a+b) chia hết cho 9

\Rightarrow 2013 = $(a+b)^3 - 3ab.(a+b)$ chia hết cho 9: vô lý vì 2013 chia 9 dư 6

\Rightarrow Không tồn tại hay hai số nguyên dương a và b thỏa mãn đề bài

Một cách khác (tuy dài hơn)
$a^3+b^3=2013$\Leftrightarrow$(a+b)(a^2-ab+b^2)$=2013=3.671=11.183=33.61=1.2013
*Xét a+b=3; $a^2-ab+b^2$=671
\Rightarrow$a^2+2ab+b^2$=9\Rightarrow3ab=-662 (loại vì a,b nguyên dương mà -662 ko chia hết cho 3)
Các trường hợp còn lại tương tự.
P.s: Đây là bài trong đề thi giải toán qua thư Toán Tuổi Thơ 2 số 127 (số mới nhât)