[Toán 8] Toán khó

[kimanh1501.hy@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1 Chứng minh bất đẳng thức
a [TEX]a^2 + b^2+1 \geq ab+a+b[/TEX]
b [TEX]a^2+ b^2+ c^2 \geq a(b+c)[/TEX]

Câu 2 Cho các số x, y thoả mãn x+4y=1. Tìm GTNN của biểu thức A= [TEX]x^2+ 4y^2[/TEX]

Chú ý Tiêu đề + Latex

 

[hoaibaobtx@gmail.com]

ta có: x+4y=1
--> x=1-4y
[TEX]x^2+4y^2=(1-4y)^2+4y^2=20y^2-8y+1=(2\sqrt[]{5}y-2/\sqrt[]{5})^2+1/5\geq1/5[/TEX]
--> gtnn=1/5 tại x=1/5; y=1/5

 

[windysnow]

Câu 1:
a. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

[TEX]a^2 + b^2 \geq 2ab[/TEX]

[TEX]a^2 + 1 \geq 2a[/TEX]

[TEX]b^2 + 1 \geq 2b[/TEX]

Cộng các bất đẳng thức theo vế, ta được

[TEX]2(a^2 + b^2 + 1) \geq 2(ab + a + b)[/TEX]

[TEX]a^2 + b^2 + 1 \geq ab + a + b[/TEX]

[TEX]\Rightarrow[/TEX] đpcm

b. Đề có thiếu không bạn?

 

[hoaibaobtx@gmail.com]

1a)[TEX]a^2+b^2+1-ab-a-b=(a-1/2b-1/2)^2+3/4(b+1)^2\geq0 \Rightarrow a^2+b^2+1 \geq ab+a+b[/TEX]

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1. (a) Ta có $2(a^2+b^2+1)-2(a+b+ab)=(a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2\ge 0$ nên $a^2+b^2+1\ge a+b+ab$
Bất đẳng thức này thực tế xuất phát từ:
$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$ với việc thế $c=1$
(b) $2a^2+2b^2+2c^2-2a(b+c)=a^2+(b+c)^2-2a(b+c)+a^2+(b-c)^2=(b+c-a)^2+(b-c)^2+a^2\ge 0$
Thực tế ta có $a^2+b^2+c^2\ge a^2+\dfrac{(b+c)^2}{2}\ge \sqrt{2}|a(b+c)|\ge \sqrt{2}a(b+c)$
Thấy rằng bất đẳng thức này chặc hơn bất đẳng thức phía trên.
Bài 2.
$5(x^2+4y^2)=4(x-y)^2+(x+4y)^2\ge (x+4y)^2=1$
Do đó $x^2+4y^2\ge \dfrac{1}{5}$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\dfrac{1}{5}$