[Toán 8]Toán khó

[kimanh1501.hy@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác . Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{1}{a+b-c} +\frac{1}{b+c-a} + \frac{1}{c+a-b}\geq \frac{1}{a} +\frac{1}{b} + \frac{1}{c} [/TEX]

Chú ý Tiêu đề + Latex

 

[windysnow]

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số, ta có:

[TEX]\frac{1}{a + b - c} + \frac{1}{b + c - a}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{4}{\mid a + b - c + b + c - a \mid } [/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX] \frac{4}{a + b - c + b + c - a} [/TEX] [TEX]\geq \frac{4}{2b} \geq \frac{2}{b}[/TEX]

[TEX]\frac{1}{a + b - c} + \frac{1}{c + a - b} [/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{4}{\mid a + b - c + c + a - b\mid } [/TEX][TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{4}{a + b - c + c + a - b}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{4}{2a} \geq \frac{2}{a}[/TEX]

[TEX]\frac{1}{b + c - a} + \frac{1}{c + a - b}[/TEX] [TEX]\geq [/TEX][TEX]\frac{4}{\mid b + c - a + c + a - b\mid } [/TEX][TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{4}{b + c - a + c + a - b}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{4}{2c} \geq \frac{2}{c}[/TEX]

Cộng các bất đẳng thức theo vế, ta có:

[TEX]2.(\frac{1}{a + b - c} + \frac{1}{b + c - a} + \frac{1}{c + a - b}) \geq \frac{2}{b} + \frac{2}{a} + \frac{2}{c}[/TEX]

=> Rút 2 đi, suy ra được đpcm