[Toán 8] Toán khó

[nice_simple]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho a,b,c là 3 số khác nhau.

CMR:

$\frac{b-c}{(a-b)(a-c)}+\frac{c-a}{(b-c)(b-a)}+\frac{a-b}{(c-a)(c-b)}=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}$

Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
$1) a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\geqa(b+c+d+e)$
$2) (x-1)(x-3)(x-4)(x-6)+10\geq1$
$3) 10A^2+5b^2+12ab+4a-6b+13\geq0$

 

[tieu_phong_than]

Bài 1:

Trừ vế trái và vế phải cho nhau ta được

$\dfrac{b-c}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{a-b}{(c-a)(c-b)}+\dfrac{c-a}{(b-

c)(b-a)}-\dfrac{2}{a-b}-\dfrac{2}{b-c}-\dfrac{2}{c-a}$

$=\dfrac{b-2a+c}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{a-2c+b}{(c-a)(c-b)}+\dfrac{2b-c-a}{(b-c)(a-b)}$

$=\dfrac{b^2-2ab+cb-bc+2ac-c^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}+\dfrac{a^2-2ac+ba-ab+2bc-b^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}+\dfrac{2ab-ca-a^2-2bc+c^2+ac}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0$

$\Rightarrow dpcm$

Bài 2:

$1)a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-a(b+c+d+e)$

$=a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-ab-ac-ad-ae$

$=(\dfrac{a^2}{4}-ab+b^2)+(\dfrac{a^2}{4}-ac+c^2)+(\dfrac{a^2}{4}-ad+d^2)+(\dfrac{a^2}{4}-ae+e^2)=(\dfrac{a}{2}-b)^2+(\dfrac{a}{2}-c)^2+(\dfrac{a}{2}-d)^2+(\dfrac{a}{2}-e)^2 \geq 0$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 \geq a(b+c+d+e)$

$2)(x-1)(x-3)(x-4)(x-6)+10=[(x-1)(x-6)][(x-3)(x-4)]+10=(x^2-7x+6)(x^2-7x+12)+10$

Đặt $x^2-7x+6=m$ thì

$m(m+6)+10=m^2+2.3.m+9+1=(m+3)^2+1 \geq 1$

$3)10a^2+5b^2+12ab+4a-6b+13=(9a^2+12ab+4b^2)+(a^2+4a+4)+(b^2-6b+9)=(3a+2b)^2+(a+2)^2+(b-3)^2 \geq 0$