[Toán 8] Toán khó

[lucprokuteqb01]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Chứng minh với \forall n ta luôn có :
[TEX] ( 1 + \frac{1}{3})( 1+ \frac{1}{8} )(1 + \frac{1}{15})...( + \frac{1}{n^2 + 2n}) < 2[/TEX]
2. Chứng minh với mọi n nguyên dương. Ta luôn có :
[TEX]\frac { 1 }{2^2} + \frac { 1 }{3^2} + ...... + \frac { 1 }{n^2} < 1[/TEX]
3 (Bài này dễ nè) :
Cho phân thức :
[TEX]A = \frac{4x^3 - 9x^2 - x + 6}{x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 3x +2}[/TEX]
a. Rút gọn phân thức
b. Tìm GTNN và GTLN của A
Đề còn nhiều, các bạn giải nhanh nhé

Hix. sao mình không viết phân số được, mong các mod sửa bài giùm em cái @@

 

[quynhnhung81]

1. Chứng minh với \forall n ta luôn có :
[TEX] ( 1 + \frac{1}{3})( 1+ \frac{1}{8} )(1 + \frac{1}{15})...( + \frac{1}{n^2 + 2n}) < 2[/TEX]
2. Chứng minh với mọi n nguyên dương. Ta luôn có :
[TEX]\frac { 1 }{2^2} + \frac { 1 }{3^2} + ...... + \frac { 1 }{n^2} < 1[/TEX]
3 (Bài này dễ nè) :
Cho phân thức :
[TEX]A = \frac{4x^3 - 9x^2 - x + 6}{x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 3x +2}[/TEX]
a. Rút gọn phân thức
b. Tìm GTNN và GTLN của A
Đề còn nhiều, các bạn giải nhanh nhé

Bài 1:
[TEX] ( 1 + \frac{1}{3})( 1+ \frac{1}{8} )(1 + \frac{1}{15})...( + \frac{1}{n^2 + 2n}) [/TEX]

[TEX]= \frac{2^2}{2^2-1}.\frac{3^2}{3^2-1}.\frac{4^2}{4^2-1}.....\frac{n^2}{n^2-1}[/TEX]

[TEX]= \frac{2^2.3^2.4^2.....n^2}{1.3.2.4.3.5.....(n-1)(n+1)}[/TEX]

[TEX]=\frac{2n(n-1)}{n+1}[/TEX] (hok bít đúng không )

Bài 2: [TEX]\frac { 1 }{2^2} + \frac { 1 }{3^2} + ...... + \frac { 1 }{n^2} < P=\frac { 1 }{2^2-1} + \frac { 1 }{3^2-1} + ...... + \frac { 1 }{n^2-1}[/TEX]

[TEX]P=\frac{1}{2}(\frac{2}{(2-1)(2+1)}+\frac{2}{(3-1)(3+1)}+...+\frac{2}{(n-1)(n+1)[/TEX]

[TEX]= \frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})[/TEX]

[TEX]=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})[/TEX]

[TEX]=\frac{3n^2-3n-4}{4n(n+1)}=1-\frac{n^2+7n+4}{4n(n+1)} <1[/TEX]

Bài 3: [TEX]A = \frac{4x^3 - 9x^2 - x + 6}{x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 3x +2}[/TEX]

[TEX]=\frac{(x-2)(x-1)(4x+3)}{(x-2)(x-1)(x^2+1)}=\frac{4x+3}{x^2+1}[/TEX]

[TEX]A=\frac{4x+3}{x^2+1}=\frac{4x^2+4-4x^2+4x-1}{x^2+1}=4-\frac{(2x-1)^2}{x^2+1} \leq 4[/TEX]

Dấu "=" xảy ra khi [TEX]x=\frac{1}{2}[/TEX]

[TEX]A=\frac{4x+3}{x^2+1}=\frac{x^2+4x+4}{x^2+1}-\frac{x^2+1}{x^2+1}=\frac{(x+2)^2}{x^2+1}-1 \geq -1[/TEX]

Dấu "=" xảy ra khi x=-2

Vậy Min A=-1 khi x=-2 và Max A= 4 khi [TEX]x=\frac{1}{2}[/TEX]

 

[khanhtoan_qb]

Bài 1:
[TEX]A = ( 1 + \frac{1}{3})( 1+ \frac{1}{8} )(1 + \frac{1}{15})...( + \frac{1}{n^2 + 2n}) [/TEX]

[TEX]= \frac{2^2}{2^2-1}.\frac{3^2}{3^2-1}.\frac{4^2}{4^2-1}.....\frac{n^2}{n^2-1}[/TEX]

[TEX]= \frac{2^2.3^2.4^2.....n^2}{1.3.2.4.3.5.....(n-1)(n+1)}[/TEX]

[TEX]=\frac{2n(n-1)}{n+1}[/TEX]
Bài 2: [TEX]\frac { 1 }{2^2} + \frac { 1 }{3^2} + ...... + \frac { 1 }{n^2} < P=\frac { 1 }{2^2-1} + \frac { 1 }{3^2-1} + ...... + \frac { 1 }{n^2-1}[/TEX]

[TEX]P=\frac{1}{2}(\frac{2}{(2-1)(2+1)}+\frac{2}{(3-1)(3+1)}+...+\frac{2}{(n-1)(n+1)[/TEX]

[TEX]= \frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})[/TEX]

[TEX]=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})[/TEX]

[TEX]=\frac{3n^2-3n-4}{4n(n+1)}=1-\frac{n^2+7n+4}{4n(n+1)} <1[/TEX]

Sai rùi tề:
Xét[TEX]1 + \frac{1}{n^2 + 2n}[/TEX]
[TEX]= \frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 + 2n + 1 - 1}[/TEX]

[TEX]= \frac{(n + 1)^2}{(n + 1)^2 - 1}[/TEX]

\Rightarrow[TEX]A = ( 1 + \frac{1}{3})( 1+ \frac{1}{8} )(1 + \frac{1}{15})...( + \frac{1}{n^2 + 2n}) [/TEX]

[TEX]= \frac{2^2}{2^2-1}.\frac{3^2}{3^2-1}.\frac{4^2}{4^2-1}.....\frac{(n + 1)^2}{(n + 1)^2 - 1}[/TEX]

[TEX]= \frac{2^2}{1 . 3}.\frac{3^2}{2 . 4}.\frac{4^2}{3 . 5}.....\frac{(n + 1)^2}{n(n + 2)}[/TEX]

[TEX]= \frac{2^2.3^2.4^2.....n^2.(n + 1)^2}{1.2.3^2.4^2...n^2 .(n + 1)^2 . (n + 2)}[/TEX]

[TEX]=\frac{2 }{n + 2} < 2 \Rightarrow dpcm [/TEX]
Bài 2 cũng sai nha
[TEX]\frac { 1 }{2^2} + \frac { 1 }{3^2} + ...... + \frac { 1 }{n^2} < P=\frac { 1 }{2^2-1} + \frac { 1 }{3^2-1} + ...... + \frac { 1 }{n^2-1}[/TEX]

[TEX]P=\frac{1}{2}(\frac{2}{(2-1)(2+1)}+\frac{2}{(3-1)(3+1)}+...+\frac{2}{(n-1)(n+1)[/TEX]

[TEX]= \frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})[/TEX]

[TEX]=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})[/TEX]

[TEX]=\frac{3n^2-n - 2}{4n(n+1)}=1-\frac{n^2+5n+2}{4n(n+1)} <1[/TEX]
thế mới đúng chứ

 

[lucprokuteqb01]

Sao các bạn giải nhanh thế , chắc Đại dễ nhỉ. Vậy bây giờ sẽ là 1 Hình 1 Đại nhé :


Bài 1 : Rút gọn phân thức

[TEX]E = \frac{ax^2 + by^2 + cz^2}{bc( y - z)^2 + ca( z - x )^2 + ab(x-y)^2}[/TEX]
[TEX]G = \frac{1}{1+a} + \frac{1}{1 - b} + \frac{1}{1+c}[/TEX]
Biết :
x = by + cz
y = ax + cz
z = ax + by
Bài 2 :
Cho hình vuông ABCD , E là 1 điểm trên BC. Qua A vẽ AX vuông góc với AE. Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G.
a. Tam giác AEF là tam giác gì ?
b Tứ giác EGFK là hình gì ?
c [TEX]AF^2 = FK . FC[/TEX]
d. khi E thay đổi trên BC. C/m chu vi tam giác EKC không thay đổi

Làm nhanh nhé

 

[khanhtoan_qb]

[TEX]G = \frac{1}{1+a} + \frac{1}{1 - b} + \frac{1}{1+c}[/TEX]
Biết :
x = by + cz
y = ax + cz
z = ax + by
Bài 2 :
Cho hình vuông ABCD , E là 1 điểm trên AB. Qua A vẽ AX vuông góc với AE. Ax cắt CD tại E. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G.
a. Tam giác AEF là tam giác gì ?
b Tứ giác EGFK là hình gì ?
c [TEX]AF^2 = FK . FC[/TEX]
d. khi E thay đổi trên BC. C/m chu vi tam giác EKC không thay đổi

Bài 1 G
ta có
[TEX]by = x - cz[/TEX]
[TEX]ax = y - cz [/TEX]
\Rightarrow z = x + y - 2cz \Leftrightarrow 2cz = x + y - z
tương tự có:
2by = x + z - y, 2ax = z + y - x
hay [TEX]c = \frac{x + y - z}{2z} \Rightarrow 1 + c = \frac{x +y + z}{2z}[/TEX]
phải là 1 + b chứ bạn[TEX]b = \frac{z + x - y}{2y} \Rightarrow 1 + b = \frac{x + y + z}{2y}[/TEX]
[TEX] a = \frac{z + y - x}{2x} \Rightarrow 1 + a = \frac{x + y + z}{2x}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} = 2[/TEX]
Bài 2 đề sai rồi nha, ta có Ax vuông góc với AE tại A không phải là AD đó sao, mà sao lại cắt AD tại E nữa, không phải E thuộc AB mà, post lại đề nha bạn

đề vẫn sai đó bạn, Ax vuông góc với AE tại A là AD mà

 

[lucprokuteqb01]

Xin lỗi các bạn vì đề mình post có sự nhầm lẫn.. Thành thực rất xin lỗi... Mong các bạn sớm giải câu 1 còn lại và bài hình

Em biết đây là spam nhưng mong các anh chị mod cho bài làm của em có người giải đã rồi del , rất cảm ơn các bạn

:M047:

 

[khanhtoan_qb]

Bài 2 :
Cho hình vuông ABCD , E là 1 điểm trên BC. Qua A vẽ AX vuông góc với AE. Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G.
a. Tam giác AEF là tam giác gì ?
b Tứ giác EGFK là hình gì ?
c [TEX]AF^2 = FK . FC[/TEX]
d. khi E thay đổi trên BC. C/m chu vi tam giác EKC không thay đổi

Ta có:
a. tg ADF = tg ABE (c.góc vuông - g nhọn) (do đây là hai tam giác vuông)
\Rightarrow AF = AE và [TEX]\widehat{FAE} = 90*[/TEX] \Rightarrow AEF là tam giác vuông cân
b.AK là đường trung trực của EF \Rightarrow GE = GF và FK = KE \Rightarrow GEF cân tại G và EKF cân tại K\Rightarrow [TEX]\widehat{EFK} = \widehat{FEK}[/TEX]
và [TEX]\widehat{GFE} = \widehat{GEF}[/TEX]
Ta có EG // CD hay EG // FK \Rightarrow[TEX]\widehat{GEF} = \widehat{EFK}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\widehat{EFK} = \widehat{FEK}= \widehat{GFE} = \widehat{GEF}[/TEX]
kết hợp với EF chung \Rightarrow tg KEF = tg GEF \Rightarrow GEKF có GE = EK = FK = GF kết hợp với GE // FK \Rightarrow EGFK là hình thoi
c. ta có tg FAE vuông cân \Rightarrow c/m được [TEX]\widehat{FAK} = 45*[/TEX]
mà [TEX]\widehat{ACF} = 45*[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\widehat{FAK} =\widehat{ACF} = 45*[/TEX]
kết hợp với [TEX]\hat{F}[/TEX]chung \Rightarrow tg AFC đồng dạng với tg KFA(gg)
\Rightarrow[TEX]\frac{AF}{FK}= \frac{FC}{FA}[/TEX] \Rightarrow đpcm
d. Ta có [TEX]C_{ECK} = EC + CK + EK[/TEX]mà EK = FK và FD = BE
\Rightarrow [TEX]C_{ECK} = EC + CK + EK = FK + EC + CK = FC + CE = DC + FD + CE = DC + BE + EC = DC + BC[/TEX](không đổi)
\Rightarrow đpcm

Xem ông giải như thế nào nào, sr nha, lúc đầu tui đọc đề không kĩ (

 

[previewchandai]

Các bạn giỏi wá, giúp mình bài dễ này nha !
Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu :
[TEX]a) 9x^2-6x+1[/TEX]
[TEX]b) (2x+3y)^2+2.(2x+3y)+1[/TEX]
Hãy nêu một đề bài tương tự .
Hông biết nêu như thế nào ta ?

 

[leducsang1997]

Các bạn giỏi wá, giúp mình bài dễ này nha !
Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu :
[TEX]a) 9x^2-6x+1[/TEX]
[TEX]b) (2x+3y)^2+2.(2x+3y)+1[/TEX]
Hãy nêu một đề bài tương tự .
Hông biết nêu như thế nào ta ?

bài này dễ wá
dùng hằng đẳng thức là xong
a) [TEX](3x-1)^2[/TEX]
b)[TEX](2x+3y+1)^2[/TEX]

 

[quynhnhung81]

Các bạn giỏi wá, giúp mình bài dễ này nha !
Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu :
[TEX]a) 9x^2-6x+1[/TEX]
[TEX]b) (2x+3y)^2+2.(2x+3y)+1[/TEX]
Hãy nêu một đề bài tương tự .
Hông biết nêu như thế nào ta ?

[TEX]a) 9x^2-6x+1=(3x)^2-2.3x+1=(3x-1)^2[/TEX]

[TEX]b) (2x+3y)^2+2.(2x+3y)+1=(2x+3y+1)^2[/TEX]

Đề bài tương tự
Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu
[TEX]4y^2+x^2+z^2+4xy+4xz+2yz[/TEX]

 

[khanhtoan_qb]

Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu
[TEX]4y^2+x^2+z^2+4xy+4xz+2yz[/TEX]

Đề sai rồi thì phải: phải là
[TEX]4x^2+y^2+z^2+4xy+4xz+2yz[/TEX]
[TEX]= (2x)^2 + y^2 + z^2 + 2.2xy + 2.2x.z + 2.y.z[/TEX]
[TEX]= (2x + y + z)^2[/TEX]
Áp dụng [TEX](a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca[/TEX]

 

[leducsang1997]

[TEX]a) 9x^2-6x+1=(3x)^2-2.3x+1=(3x-1)^2[/TEX]

[TEX]b) (2x+3y)^2+2.(2x+3y)+1=(2x+3y+1)^2[/TEX]

Đề bài tương tự
Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu
[TEX]4y^2+x^2+z^2+4xy+4xz+2yz[/TEX]

ê bạn bài bạn đưa hình như sai đè rùi

tui chi tim đc
[TEX]4y^2+x^2+z^2+4xy+2xz+4yz=(2y+x+z)^2[/TEX]

rất có thể mình tính toán nhầm.
mọi người sửa hộ minh nha

 

[khanhtoan_qb]

Nếu như zậy thì thử bài này mà xem
(*) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. [TEX]x^8 + x^6 + x^4 + x^2 + 1[/TEX]
b. [TEX]x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz[/TEX]
Gợi ý:
Bài 1: áp dụng hằng đẳng thức [TEX](a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca[/TEX]
Bài 2: Thêm bớt hạng tử là [TEX]3x^2y...vs...3xy^2[/TEX]

 

[khanhtoan_qb]

Nếu như zậy thì thử bài này mà xem
(*) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. [TEX]x^8 + x^6 + x^4 + x^2 + 1[/TEX]
b. [TEX]x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz[/TEX]
Gợi ý:
Bài 1: áp dụng hằng đẳng thức [TEX](a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca[/TEX]
Bài 2: Thêm bớt hạng tử là [TEX]3x^2y...vs...3xy^2[/TEX]

Đáp án nha:
a. [TEX]x^8 + x^6 + x^4 + x^2 + 1[/TEX]
[TEX]= x^8 + x^4 + 1 + 2x^6 + 2x^2 + 2x^4 - x^6 - 2x^4 - x^2[/TEX]
[TEX]= (x^4 + x^2 + 1)^2 - x^2(x^4 + 2x^2 + 1)[/TEX]
[TEX]= (x^4 + x^2 + 1)^2 - [x(x^2 + 1)]^2[/TEX]
[TEX]= (x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)[/TEX]
b. [TEX]x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz[/TEX]
[TEX]= (x + y)^3 + z^3 - 3xy(x + y + z)[/TEX]
[TEX]= (x + y + z)(x^2 + 2xy + y^2 - xz - yz + z^2) - 3xy(x + y + z)[/TEX]
[TEX]= (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz)[/TEX](*)(*)(*)

Bùn nhỉ, không có ai giải zậy ta((, thui lần sau tui post cho mấy bài dễ hơn . hi vọng mọi người nhiệt tình ủng hộ

 

[khanhtoan_qb]

Mình có một sáng kiến nha, hay là mình tổ chức trang này thành một Box toán nâng cao nhỉ

Box toán này do 2 bạn làm ban ra đề nha:
- khanhtoan_qb
- lucprokuteqb_01
Qui định:- không được sao chép bài của người khác
- bài nào giải trước sẽ được công nhân kết quả
- cứ 10 đề sẽ tổng kết một lần.(bạn thắng cuộc sẽ nhận được một đề toán khó và có đáp án nha)
Mỗi lần như zậy chúng ta post một bài giải, cứ 2 bài sẽ là một đề nha
(Xen kẻ, lần này mình ra đề, lần sau lucprokuteqb_01 sẽ ra đề)

Đề 1:
Bài thứ nhất:
Xuất phát từ bài dễ:
Chứng minh rằng
[TEX]\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} \Leftrightarrow \sqrt{ax} + \sqrt{by} + \sqrt{cz} = \sqrt{(a + b + c)(x + y + z)}[/TEX]
Với a, b, c, x, y, z > 0
p/s. mọi người cố lên nào

 

[alittlelove_nt]

1>Xét

\Rightarrow

Bài 2

 

[alittlelove_nt]

Bài 1 G
ta có

\Rightarrow z = x + y - 2cz \Leftrightarrow 2cz = x + y - z
tương tự có:
2by = x + z - y, 2ax = z + y - x
hay

phải là 1 + b chứ bạn

\Rightarrow

 

[lucprokuteqb01]

Rất cảm ơn lòng thành của các bạn trong thời gian qua, đây là dạng toán ca si ô của như các dạng lập phương trình . Mong các bạn giải nhanh
1 người gửi vào ngân hàng số tiền a đồng với lãi suất m %/tháng .Biết người đó không rút tiền lãi ra . Hỏi sau n tháng người đó nhận được bao nhiều tiền cả gốc lẫn lãi

 

[mua_mua_ha]

Rất cảm ơn lòng thành của các bạn trong thời gian qua, đây là dạng toán ca si ô của như các dạng lập phương trình . Mong các bạn giải nhanh
1 người gửi vào ngân hàng số tiền a đồng với lãi suất m %/tháng .Biết người đó không rút tiền lãi ra . Hỏi sau n tháng người đó nhận được bao nhiều tiền cả gốc lẫn lãi

cả gốc lần lãi của :
Tháng 1 : a + a.m% = a(1+m%)
Tháng 2: a(1+m%)+ a(1+m%). m% = [TEX]a . (1+m%)^2[/TEX]
...............
Tháng thứ n : [TEX]a . (1 + m%)^n[/TEX]