[Toán 8]Toán Khó

[ngocanh_181]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

BÀi 1 : Tìm mọi số tự nhiên n sao cho :
[TEX]n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2 \vdots 5[/TEX]]
Bài 2 : Tính tổng :
[TEX]S_n = 1^3 + 2^3 + 3^3 + .....+ n^3[/TEX]
Bài 3: CMR : [TEX] 4^(2n+2) - 1 \vdots 15[/TEX] với mọi n thuộc N

 

[tuyn]

1) [TEX]n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2=4n^2+12n+14=5(n^2+2n+3)-(n^2-2n+1)[/TEX]
Chia hết cho 5 \Leftrightarrow [TEX](n-1)^2[/TEX] chia hết cho 5 \Leftrightarrow n-1 chia hết cho 5 \Leftrightarrow [TEX]n=5k+1,k \in N[/TEX]
2) ta có:
[TEX]S_1=1=(\frac{1.(1+1)}{2})^2,S_2=9=(\frac{2(2+1)}{2})^2,S_3=36=(\frac{3(3+1)}{2})^2,S_n=(\frac{n(n+1)}{2})^2[/TEX].Chứng minh=Quy nạp
3) [TEX]4^{2n+2}-1=16^{n+1}-16+15=16.(16^n-1)+15[/TEX] chúy ý rằng [TEX]16^n-1[/TEX] chia hết cho 15

 

[ngocanh_181]

Mình cũng làm được đến đây nhưng tìm [TEX]n=5k+1,k \in N[/TEX] như thế nào ?@-)

 

[tuyn]

n-1 chia hết cho 5 nên [TEX]n-1=5k,k \in N \Rightarrow n=5k+1[/TEX]

 

[hoa_giot_tuyet]

Mình cũng làm được đến đây nhưng tìm [TEX]n=5k+1,k \in N[/TEX] như thế nào ?@-)

Cái này là tổng quát nên bạn không cần tìm thêm còn nếu mún làm rõ hơn thì bạn nên biểu diễn nó trên tập nghiệm {1,6,11,...}

 

[hoa_giot_tuyet]

Bài 2 : Tính tổng :
[TEX]S_n = 1^3 + 2^3 + 3^3 + .....+ n^3[/TEX]

Bài này níu làm như bạn tuyn thì sẽ rất khó khăn trong việc dự đoán (tớ đoán chắc là bạn ý bik trước đc kết quả nên mới làm đc thế ))

Bài này phải làm như thế này, tuy hơi dài một tý

Ta có [TEX](x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2+ 4x + 1[/TEX]
Lần lượt cho x = 1,2,3 ... ,n
[TEX](1+1)^4 = 1^4 + 4.1^3 + 6.1^2 + 4.1 + 1[/TEX]
[TEX](2+1)^4 = 2^4 + 4.2^3 + 6.2^2 + 4.2 + 1[/TEX]
...
[TEX](n+1)^4 = n^4 + 4.n^3 + 6.n^2 + 4.n + 1[/TEX]
Cộng từng vế lại rồi gút gọn (để ý [TEX](1+1)^4 = 2^4 ...)[/TEX]

[TEX] (n+1)^4 = 1^4 + 4(1^3+2^3+...+n^3) + 6(1^2+2^2+...+n^2) + 4(1+2+3...+n) + n[/TEX]

Rồi thay [TEX]1+2+3..+n = \frac{n(n+1)}{2}[/TEX]
[TEX]1+2^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/TEX]

Dài quá nhể )

 

[ngocanh_181]

Bài này níu làm như bạn tuyn thì sẽ rất khó khăn trong việc dự đoán (tớ đoán chắc là bạn ý bik trước đc kết quả nên mới làm đc thế ))

Bài này phải làm như thế này, tuy hơi dài một tý

Ta có [TEX](x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2+ 4x + 1[/TEX]
Lần lượt cho x = 1,2,3 ... ,n
[TEX](1+1)^4 = 1^4 + 4.1^3 + 6.1^2 + 4.1 + 1[/TEX]
[TEX](2+1)^4 = 2^4 + 4.2^3 + 6.2^2 + 4.2 + 1[/TEX]
...
[TEX](n+1)^4 = n^4 + 4.n^3 + 6.n^2 + 4.n + 1[/TEX]
Cộng từng vế lại rồi gút gọn (để ý [TEX](1+1)^4 = 2^4 ...)[/TEX]

[TEX] (n+1)^4 = 1^4 + 4(1^3+2^3+...+n^3) + 6(1^2+2^2+...+n^2) + 4(1+2+3...+n) + n[/TEX]

Rồi thay [TEX]1+2+3..+n = \frac{n(n+1)}{2}[/TEX]
[TEX]1+2^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/TEX]

Dài quá nhể )

Ơ! Sa0 t làm ra thì được đáp số là [TEX]( 1 +2 +3 + .... + n)^2[/TEX]nhỉ ? :-SS

 

[quynhnhung81]

Ơ! Sa0 t làm ra thì được đáp số là [TEX]( 1 +2 +3 + .... + n)^2[/TEX]nhỉ ? :-SS

Bạn thử đối chiếu các bước làm của bạn và của hoa_giot_tuyet xem

nếu rảnh thì đăng lên thử, mọi người cùng tìm ra cỗ sai

 

[ngocanh_181]

Bạn thử đối chiếu các bước làm của bạn và của hoa_giot_tuyet xem

nếu rảnh thì đăng lên thử, mọi người cùng tìm ra cỗ sai

>-
Ta có : [TEX]S_1 = 1^3 = 1^2[/TEX]
[TEX]S_2 = 1^3 + 2^3 = (1+2)^2[/TEX]
[TEX]S_3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 = (1+2+3)^2[/TEX]
Giả sử
[TEX]S_n = 1^3 + 2^3 + 3^3 + .... + n^3 = (1+2+3+...+n)^2[/TEX](*)
Ta CM : [TEX]S_n+1 = 1^3 + 2^3 + 3^3 +...+(n+1)^3=[1+2+...+(n+1)]^2[/TEX] (*)(*)
\Rightarrow [TEX]1+2+3....+n = \frac{n(n+1)}{2}[/TEX]
(*) \Rightarrow [TEX]S_n =[\frac{n(n+1)}{2}]^2 [/TEX]
\Rightarrow [TEX]S_n + (n+1)^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2 + (n+1)^3[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]S_n+1 = (\frac{n+1}{2})^2 (n^2 + 4n + 4) = [\frac{(n+1)(n+2)}{2}]^2 [/TEX]
\Leftrightarrow(*)(*) [TEX]S_n+1 = [1+2+...+(n+1)]^2[/TEX]
\Rightarrow ..... hEm bJk Đúg Ko nỮa....