[Toán 8]Toán hình nâng cao

[prosaox123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho điểm M nằm trong tam giác ABC. Qua M vẽ đường thẳng AM, BM, CM cắt các cạnh của tam giác tương ứng tại $A_1, B_1, C_1$
CM:

a) $\dfrac{AM}{A_1M} + \dfrac{BM}{B_1M} + \dfrac{CM}{C_1M}$ \geq $6$

b) $\dfrac{AM}{A_1M}.\dfrac{ BM}{B_1M}.\dfrac{CM}{C_1M}$ \geq $8$

Chú ý Latex.

 

[soicon_boy_9x]

a) Đặt $S_{ABM}=a \ \ \ \ \ S_{BMC}=b \ \ \ \ \ S_{CAM}=c$

Dễ chứng minh $\dfrac{AM}{A_1M}=\dfrac{a+c}{b}$

Tương tự $\dfrac{BM}{B_1M}=\dfrac{a+b}{c} \\ \dfrac{CM}
{C_1M}=\dfrac{b+c}{a}(1)$

$(1)\rightarrow \dfrac{AM}{A_1M}+\dfrac{BM}{B_1M}+\dfrac{CM}
{C_1M}=\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}$

$\rightarrow \dfrac{AM}{A_1M}+\dfrac{BM}{B_1M}+\dfrac{CM}
{C_1M}+3=\dfrac{a+b+c}{c}+\dfrac{b+c+a}{a}+\dfrac{c+a+b}{b}$

$\rightarrow \dfrac{AM}{A_1M}+\dfrac{BM}{B_1M}+\dfrac{CM}
{C_1M}+3=(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) \geq 9$

$\rightarrow \dfrac{AM}{A_1M}+\dfrac{BM}{B_1M}+\dfrac{CM}
{C_1M} \geq 6(dpcm)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hay M là trọng tâm

$b)(1) \rightarrow \dfrac{AM}{A_1M}.\dfrac{BM}{B_1M}.\dfrac{CM}
{C_1M}=\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc} \geq \dfrac{8abc}
{abc}=8(dpcm)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hay M là trọng tâm