[Toán 8] Toán đa thức cực khó

[trangngth00]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho đa thức $f(x) \epsilon Z[x]$
$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ với a, b, c, d, e là các số lẻ.
Cm đa thức không có nghiệm hữu tỉ
2. Cho P(x) có bậc 3; $P(x) \epsilon Z[x]$ và P(x) chia hết cho 7 với mọi x $\epsilon Z$
CmR các hệ số của P(x) chia hết cho 7.
3. Cho đa thức P(x) bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 thỏa mãn P(1)=10; P(2)=20; P(3)=30.
Tính $\frac{P(12)+P(-8)}{10}$
4. Tìm đa thức P(x) dạng $x^5+x^4-9x^3+ax^2+bx+c$ biết P(x) chia hết cho (x-2)(x+2)(x+3)
5. Tìm đa thức bậc 3 có hệ số cao nhất là 1 sao cho P(1)=1; P(2)=2; P(3)=3
6. Cho đa thức P(x) có bậc 6 có P(x)=P(-1); P(2)=P(-2); P(3)=P(-3). CmR: P(x)=P(-x) với mọi x
7. Cho đa thức $P(x)=-x^5+x^2+1$ có 5 nghiệm. Đặt $Q(x)=x^2-2.$
Tính $A=Q(x_1).Q(x_2).Q(x_3).Q(x_4).Q(x_5)$ ($x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ là các nghiệm của P(x))

 

[0973573959thuy]

P.s : Với nhiều bài khó như thế này, bạn nên hỏi bài bằng cách ấn vào nút gửi cấu hỏi thì tốt hơn đấy!

Bài 4: Ta có : $P (x) = x^5 + x^4 - 9x^3 + ax^2 + bx + c = (x - 2)(x + 2)(x + 3).Q(x)$

Vì đẳng thức trên đúng với mọi x nên lần lượt cho x = 2, x = - 2, x = - 3 ta được :


[TEX]\left{\begin{P(2) = 4a + 2b + c = 24 (1)}\\{P(-2) = 4a - 2b + c = - 56 (2)} \\{P(-3) = 9a - 3b + c = - 81 (3)}[/TEX]

Lấy (1) trừ (2) ta được : 4b = 80 $\rightarrow b = 20$

Lấy (2) trừ đi (3) ta được : $-5a = 5 \rightarrow a = - 1$

Thay a = - 1; b = 20 vào (3) ta được : - 69 + c = - 81 \Rightarrow c = - 12

Vậy $P(x) = x^5 + x^4 - 9x^3 - x^2 + 20x - 12$

 

[0973573959thuy]

Bài 5 : Làm tương tự bài 4.

Gọi đa thức bậc 3 thỏa mãn yêu cầu đề bài là : $P(x)$

Ta có : $P(x) = x^3 +ax^2 + bx + c$

Theo đề bài ra, ta có :

[TEX]\left{\begin{P(1) - 1 = a + b + c = 0 (1)}\\{P(2) - 8 = 4a + 2b + c = - 6 (2)}\\{P(3) - 27 = 9a + 3b + c = - 24 (3)[/TEX]

Lấy (2) trừ (1) ta được : 3a + b = - 6 (4)

Lấy (2) trừ (4) ta được : 2a - c = - 6 (5)

Lấy (4) cộng (5) ta dc : 5a + b - c = - 12 (6)

Lấy (3) cộng (6) ta dc : $14a + 4b = 12a + 4b + 2a = 4(3a + b) + 2a = - 24 + 2a = - 36$

$\rightarrow 2a = - 12 \rightarrow a = - 6$

Thay a = - 6 vào (4) ta được : - 18 + b = - 6 $\rightarrow b = 12$

Thay a = - 6 vào (5) dc : - 12 - c = - 6 $\rightarrow c = - 6$

Vậy $P(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 6$

 

[lehuynhyenvy2000]

Bài 5 : Làm tương tự bài 4.

Gọi đa thức bậc 3 thỏa mãn yêu cầu đề bài là : $P(x)$

Ta có : $P(x) = x^3 +ax^2 + bx + c$

Theo đề bài ra, ta có :

[TEX]\left{\begin{P(1) - 1 = a + b + c = 0 (1)}\\{P(2) - 8 = 4a + 2b + c = - 6 (2)}\\{P(3) - 27 = 9a + 3b + c = - 24 (3)[/TEX]

Lấy (2) trừ (1) ta được : 3a + b = - 6 (4)

Lấy (2) trừ (4) ta được : 2a - c = - 6 (5)

Lấy (4) cộng (5) ta dc : 5a + b - c = - 12 (6)

Lấy (3) cộng (6) ta dc : $14a + 4b = 12a + 4b + 2a = 4(3a + b) + 2a = - 24 + 2a = - 36$

$\rightarrow 2a = - 12 \rightarrow a = - 6$

Thay a = - 6 vào (4) ta được : - 18 + b = - 6 $\rightarrow b = 12$

Thay a = - 6 vào (5) dc : - 12 - c = - 6 $\rightarrow c = - 6$

Vậy $P(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 6$

Bạn có thể giúp mình giải bài này được ko?
tìm x; y biết x(x-2)+y(y+4)+5=0
đây là bài toán lớp 8, mình xin cảm ơn nhiều ạ @};-

 

[0973573959thuy]

2. Cho P(x) có bậc 3; $P(x) \epsilon Z[x]$ và P(x) chia hết cho 7 với mọi x $\epsilon Z$
CmR các hệ số của P(x) chia hết cho 7.

Mình hỏi bạn chút nhé!
Z[x] là gì vậy ?

 

[0973573959thuy]

Bạn có thể giúp mình giải bài này được ko?
tìm x; y biết x(x-2)+y(y+4)+5=0
đây là bài toán lớp 8, mình xin cảm ơn nhiều ạ @};-

Giải:

$x(x- 2) + y(y + 4) + 5 = 0$

$\rightarrow x^2 - 2x + y^2 + 4y + 5 = (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 0$

$\rightarrow (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 0$

Ta có : $(x - 1)^2$ \geq 0 \forall $x \in R$

$(y + 2)^2$ \geq 0 \forall $x \in R$

\Rightarrow $(x - 1)^2 + (y + 2)^2$ \geq 0 \forall $x,y \in R$

Như vậy, để $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 0$ thì $x - 1 = y + 2 = 0 \rightarrow x = 1; y = - 2$

Chúc bạn học tốt!

 

[0973573959thuy]

Ô, mình làm đúng rồi mà Thịnh

Theo đề ra, ta có : $P(1) = 1 + a + b + c = 1$
$\rightarrow P(1) - 1 = 1 + a + b + c - 1 = a + b + c = 0$

 

[thinhrost1]

Mình hỏi bạn chút nhé!
Z[x] là gì vậy ?

Hình như cái đó là x nguyên đó bạn

 

[thinhrost1]

Ô, mình làm đúng rồi mà Thịnh

Theo đề ra, ta có : $P(1) = 1 + a + b + c = 1$
$\rightarrow P(1) - 1 = 1 + a + b + c - 1 = a + b + c = 0$

Cám ơn bạn nha, lâu lâu bị nhầm )

2) $ax^3+bx^2+cx+d\\P(0)=d \vdots7\\P(1)=a+b+c \vdots7\\P(2)=8a+4b+2c\\P(2)-P(1)=7a+3b+c\vdots7\\\rightarrow 3b+c \vdots7\rightarrow 6b+2c\vdots7(1) \\P(3)=27a+9b+3c \vdots 7\\P(3)+P(2)=35a+13b+5c \vdots 7\\\rightarrow 13b+5c\vdots 7(2)\\(1)+(2)=19b+7c\vdots7\\\rightarrow b\vdots7\\\rightarrow c\vdots7\\\rightarrow a\vdots7\\\rightarrow Q.E.D$