[Toán 8] Toán cực khó đây

[darkbaron_291]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c,d là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện [TEX]a^2[/TEX]-[TEX]b^2[/TEX]=[TEX]c^2[/TEX]-[TEX]d^2[/TEX]
chứng minh rằng S=a+b+c+d là hợp số

 

[harrypham]

[TEX]\leftrightarrow(a+d)^2-(b+c)^2=(b-c)^2-(a-d)^2\leftrightarrow(a+b+c+d)(a+d-b-c)=(b-c+a-d)(b-c-a+d)[/TEX]
Nếu [TEX](b-c+a-d)(b-c-a+d)=0[/TEX], [TEX]a+b+c+d[/TEX] sẽ là số chẵn, và và nó lớn hơn 4, nên là hợp số.
Nếu [TEX](b-c+a-d)(b-c-a+d)\ne 0[/TEX], [TEX]a+b+c+d[/TEX] là ước số của [TEX](b-c+a-d)(b-c-a+d)[/TEX]. Nên nếu nó là số nguyên tố thì nó phải là ước của một trong hai số [TEX]b-c+a-d[/TEX] hoặc [TEX]b-c-a+d[/TEX], nhưng điều này là không thể do [TEX]|b-c+a-d|<a+b+c+d[/TEX] và [TEX]|b-c-a+d|<a+b+c+d[/TEX].
Vậy, [TEX]a+b+c+d[/TEX] là hợp số.

 

[harrypham]

Xét a>b,c>d: Ta có [tex]\frac{a+b}{c-d}=\frac{c+d}{a-b}=\frac{a+b+c+d}{a+c-b-d}[/tex]
[tex]a+b+c+d=\frac{(a+b)(a+c-b-d)}{c-d}[/tex]
[tex]a+b \vdots x_1, a+c-b-d \vdots x_2; x_1x_2=c-d[/tex].
Do [tex]a+b>c-d>x_1[/tex] (do [tex](c-d)^2<(c-d)(c+d)=(a+b)(a-b)<(a+b)^2[/tex]), [tex]a+c-b-d>c-d>x_2[/tex], ta phải có a+b+c+d là hợp số.
a=b;c=d: a+b+c+d chẵn, do đó là hợp số.