[Toán 8] toán cần giải

[minhhiu1999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giúp mình bài này với.
chứng minh:
$a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2\ge \dfrac{k^2}{n}$ với $a_1+a_2+a_3+...+a_n=k$

 

[thong7enghiaha]

giúp mình bài này với.
chứng minh:
$a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2\ge \dfrac{k^2}{n}$ với $a_1+a_2+a_3+...+a_n=k$

Mình nghĩ còn phải có dk $a_1;a_2;a_3;...;a_n>0$

Áp dụng Cauchy-Schwarz:

$a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2=\dfrac{a_1^2}{1}+ \dfrac{a_2^2}{1}+\dfrac{a_3^2}{1}+...+\dfrac{a_n^2}{1} \ge \dfrac{(a_1+a_2+a_3+...+a_n)^2}{1+1+1...+1}=\dfrac{k^2}{n}$

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=a_3=...=a_n=\dfrac{k}{n}$

Ps: phải Quốc không zị)

 

[minhhiu1999]

mình làm rùi nhưng không biết có đúng ko
đặt $a_1=x_1+\dfrac{k}{n};a_2=x_2+\dfrac{k}{n};...;a_n=x_n+\dfrac{k}{n}$

vì $a_1+a_2+...+a_n=k$ \Rightarrow $x_1+x_2+...+x_n+(\dfrac{k}{n}).n =k$

\Rightarrow $x_1+x_2+...+x_n=0$

có $a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=(x_1+\dfrac{k}{n})^2+(x_2+ \dfrac{k}{n})^2+...+

(x_n+\dfrac{k}{n})^2$

$=(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)+2.\dfrac{k}{n}.(x_1+x_2+...+x_n)+(\dfrac{k}{n})^2.n$

$=(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)+\dfrac{k^2}{n} \ge \dfrac{k^2}{n}$

Chú ý Latex. Đã sửa.