[Toán 8] Toán bất đẳng thức khó

[vuasanban]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1
Cho a, b, c dương
CM: 1) $\frac{a}{b+c}$ + $\frac{b}{c+a}$ + $\frac{c}{a+b}$ \geq $\frac{3}{2}$
2) $\frac{b+c}{a}$ + $\frac{c+a}{b}$ + $\frac{a+b}{c}$ \geq 6
Bài 2
Cho x, y, z dương x+y \leq 1
CM: 8($x^{4}$ + $y^{4}$) + $\frac{1}{xy}$ \geq 5

 

[phamhuy20011801]

1.2, $VT=(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})+(\dfrac{c}{b}+ \dfrac{b}{c} )+(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}) \ge 2+2+2=6$
1, $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} \ge \dfrac{3}{2}$
$\leftrightarrow \dfrac{b+c}{a}+1+\dfrac{a+c}{b}+1+\dfrac{a+b}{c}+1 \ge \dfrac{9}{2}$
$\leftrightarrow (a+b+c)(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+ \dfrac{1}{a+b} ) \ge \dfrac{9}{2}$
$\leftrightarrow (a+b+b+c+c+a)((\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+ \dfrac{1}{a+b} ) \ge 9$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi để chứng minh bđt trên luôn đúng với mọi a,b,c dương...

 

[forum_]

1.

Đây là BĐT Nesbit, có khá nhiều cách để giải . Đây là 1 cách đơn giản, dễ hiểu nhất

Ta có: $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}$

= $\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{ab+cb}+\dfrac{c^2}{ac+bc}$

\geq $\dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$ (theo $Cauchy-Schwarz$)

\geq $\dfrac{3}{2}$

Do : $(a+b+c)^2$ \geq $3(ab+bc+ca)$

Stop mọi chuyện tại đây, đã đc đưa lên BQT xử lí .

http://diendan.hocmai.vn/showpost.php?p=2806138&postcount=1007

2.

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

$(x+y)^2$ \leq $2.(x^2+y^2)$

\Rightarrow $(x+y)^4$ \leq $4(x^2+y^2)^2$ \leq $4.2.(x^4+y^4)$

\Rightarrow $x^4+y^4$ \geq $\dfrac{(x+y)^4}{8}$

Biến đổi tương đương ta đc BĐT đúng sau: $xy$ \leq $\dfrac{(x+y)^2}{4}$

Suy ra:

$8(x^4+y^4)+\dfrac{1}{xy}$ \geq $(x+y)^4+\dfrac{4}{(x+y)^2}$

=$2(x+y)^4+\dfrac{2}{(x+y)^2}+\dfrac{2}{(x+y)^2} - (x+y)^4$

\geq $3.\sqrt[3]{2(x+y)^4.\dfrac{2}{(x+y)^2}.\dfrac{2}{(x+y)^2}} - (x+y)^4$

(Cô-si)

\geq 6-1 = 5 (do $x+y$ \leq 1 \Rightarrow $-(x+y)^4$ \geq -1 )

Vậy có đpcm, dấu = tại $x=y=\dfrac{1}{2}$