[Toán 8] Tính chia hết (Cực khó)

[nameless1100]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho a,b là những số nguyên và a + b chia hết cho 30. Chứng mình rằng [TEX]a^5+b^5[/TEX] chia hết cho 30
2.Giả sử a, b là những số nguyên sao cho [TEX]a^2+b^2[/TEX] chia hết cho 7
Chứng mình rằng a,b đồng thời chia hết cho 7
3.Tìm n là số tự nhiên sao cho [TEX]2^n -1[/TEX] chia hết cho 7
Còn hai bài nữa chút post!
Anh em nhanh tay giải dùm!
Nếu không biết thì đưa ra suy nghĩ hay hướng giải cũng được:khi (197):
Tui có dạng tổng quát của bài 1 nè:

Cho [TEX]a_1[/TEX]+[TEX]a_2[/TEX]+...+[TEX]a_n[/TEX] chia hết cho 30

[TEX]a_1^5[/TEX]+[TEX]a_2^5[/TEX]+...+[TEX]a_n^5[/TEX] chia hết cho 30

Ai giải được mình cảm ơn 3 lần!

Còn không ai giải được thì cảm ơn ngược lại mình đó!

 

[thjenthantrongdem_bg]

1.Cho a,b là những số nguyên và a + b chia hết cho 30. Chứng mình rằng a^5+b^5 chia hết cho 30

Ta có
a^5+b^5= (a+b)(a^4-a^3b+a^2b+............)
Mà a+b chia hết cho 30(gt) => a^5+b^5 chia hết cho 30

 

[nameless1100]

4. Cho a và b là 2 số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và a+b chẵn
Chứng minh rằng ab([TEX]a^2[/TEX]-[TEX]b^2[/TEX]) chia hết cho 24.
5.Chứng minh rằng nếu 2 số nguyên tố thoả mãn với điêù kiện p>q>3 và p-q=2 thì p+q chia hết cho 12
6.Viết liên tiếp các số có 2 chữ số từ 19 đến 80 thành một hàng ngang ta được: 1920...7980
Số này có chia hết cho 1980 không?
Bà con nhanh tay đi nha

 

[quan8d]

1.Cho a,b là những số nguyên và a + b chia hết cho 30. Chứng mình rằng a^5+b^5 chia hết cho 30
Còn hai bài nữa chút post!
Anh em nhanh tay giải dùm!
Nếu không biết thì đưa ra suy nghĩ hay hướng giải cũng được:khi (197):

1, [tex]( a+b )^5 = a^5+b^5+5ab(a^3+2a^2b+2ab^2+b^3) = a^5+b^5+5ab(a+b)(a^2+ab+b^2) [/tex]
Vì [tex]a+b \vdots 30 \Rightarrow 5ab(a+b)(a^2+ab+b^2) \vdots 30 \Rightarrow a^5+b^5 \ 30[/tex]

3.Tìm n là số tự nhiên sao cho 2^n -1 chia hết cho 7
Còn hai bài nữa chút post!
Anh em nhanh tay giải dùm!
Nếu không biết thì đưa ra suy nghĩ hay hướng giải cũng được:khi (197):

Xét từng trường hợp với n = 3k , 3k+1 , 3k+2 là được , sau đó ta tìm được n = 3k

4. Cho a và b là 2 số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và a+b chẵn
Chứng minh rằng ab(a^2-b^2) chia hết cho 24.
5.Chứng minh rằng nếu 2 số nguyên tố thoả mãn với điêù kiện p>q>3 và pq=2 thì p+q chia hết cho 12
6.Viết liên tiếp các số có 2 chữ số từ 19 đến 80 thành một hàng ngang ta được: 1920...7980
Số này có chia hết cho 1980 không?
Bà con nhanh tay đi nha

Bài 5 đề sao vậy bạn kìa ? p>q>3 thì sao pq = 2 được !

 

[lelinh19lucky]

6)
có
1980=3^2*11*4*5
đặt số A là số mà đầu bài cho
ta có
A chia hết cho 5
A chia hết cho 4
A chia hết cho 9 (tổng số chữ số là 558)
A chia hết cho 11
hiệu các tổng chữ số ở vị trí lẻ và vị trí chẵn chia hết cho 11 ta có
tổng các chữ số ở vị trí lẻ là 1+10*(2+3+4+5+6+7)+8=279
tổng các chữ số vị trí chẵn 9+45*6=279 hay dùng 558-279 cũng thế
279-279=0 chia hết cho 11 ^^
5
p>q>3 và p-q=2 chứ quan8d
2 số này là hai số lẻ liên tiếp có dạng
p=3k+1,q=3k-1 (thế thì p và q mới là số nguyên tố được)
chú ý k là chẵn
=>p+q=6k chia hết cho 12
4
a,b cùng là lẻ
=> a^2-b^2 chia hết cho 8
a^2 luôn có dạng 3n+1
b^2 luôn có dạng 3k+1
a^2-b^2=(3k+1)-(3n+1)=>3(k-n) chia hết cho 3
nhớ thanks nha

 

[quan8d]

2.Giả sử a, b là những số nguyên sao cho [TEX]a^2+b^2[/TEX] chia hết cho 7.Chứng mình rằng a,b đồng thời chia hết cho 7

Số chính phương khi chia cho 7 thì có số dư là : 0 ; 1 ; 2 ; 4 nên[TEX] a^2+b^2[/TEX] khi chia cho 7 có số dư là 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 \Rightarrow [TEX]a , b[/TEX] đồng thời chia hết cho 7

 

[nameless1100]

Đã có kết quả!
Bài 1 của thienthanbongdem_bg và quan8d chỉ có thể giải được một phía!
Các bạn thử chứng minh ngược lại xem!
Tức là a^5+b^5 chia hết cho 30.Chứng minh rằng a+b chia hết cho 30!
Nếu mọi người không tìm ra thì mình sẽ giải sau!
2. a luôn có dạng là 7q+r ; r có thể bằng 0;1;2;3;4;5;6
b luôn có dạng là 7p+s ; s có thể bằng 0;1;2;3;4;5;6
nên a^2+b^2=(7q+r)^2+(7p+s)^2
=7m+r^2+s^2 (7m là viết gọn của các số chia hết cho 7 trước đó)
Mà a^2+b^2 chia hết cho 7 và 7m cũng chia hết cho 7
nên r^2+s^2 chia hết cho 7;
Lần lượt thay r,s bởi các giá trị 0;1;2;3;4;5;6
Ta được 0 là giá trị phù hợp
Tức là a=7q và b=7p
Hay a,b chia hết cho 7

Baì 3:
n=3q+r với r=0;1;2
2^n-1=2^3q+r -1
Ta lại thay r bởi 0;1;2 xem 2^3q+r -1 có chia hết cho 7 không
Qua thử trực tiếp ta được r=0
Tức là n=3q

 

[nameless1100]

Bài 5: Mình không đồng ý với lelinh19lucky vì nếu k=0 hay 2(chẵn) thì trái giả thuyết p;q<3
Vì 12 = 3.4 mà (3,4)=1 nên ta chỉ việc chứng mình nó chia hết cho 3,4
Cách chứng minh mình sẽ giải sau!

 

[816554]

4. Cho a và b là 2 số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và a+b chẵn
Chứng minh rằng ab(a^2-b^2) chia hết cho 24.
5.Chứng minh rằng nếu 2 số nguyên tố thoả mãn với điêù kiện p>q>3 và p-q=2 thì p+q chia hết cho 12
6.Viết liên tiếp các số có 2 chữ số từ 19 đến 80 thành một hàng ngang ta được: 1920...7980
Số này có chia hết cho 1980 không?
Bà con nhanh tay đi nha

mình thử bài 4 nha!
ta có a,b là nguyên tố cùng nhau \Rightarrow a.b ít nhất phải chia hết cho 2 và 3 \Rightarrow chia hết cho 6
[TEX]ab(a^2-b^2) [/TEX]
= ab(a-b)(a+b)
ta có a+b chia hết cho 2(2) , ab chia hết cho 6; (1)
lại có a+b chẵn
\Rightarrow a, b chẵn hoặc a,b lẻ mà chẵn - chẵn = chẵn, lẻ - lẻ = chẵn
\Rightarrow a-b chia hết cho 2(3)
từ (1), (2),(3)
\Rightarrow [TEX]ab(a^2-b^2)[/TEX] chia hết cho 24

 

[quan8d]

4. Cho a và b là 2 số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và a+b chẵn
Chứng minh rằng ab(a^2-b^2) chia hết cho 24.

[tex]ab(a^2-b^2) = ab(a^2-1-b^2+1) = ab(a-1)(a+1) - ab(b-1)(b+1) \vdots 6 [/tex]
[tex]ab(a^2-b^2) = ab(a-b)(a+b) [/tex], do [tex]a+b \vdots , (a-b)+(a+b) = 2a \vdots 2[/tex] nên [tex]a-b \vdots 2[/tex]
[tex]\Rightarrow a^2-b^2 \vdots 4[/tex]
Vậy [tex]ab(a^2-b^2) \vdots 24[/tex]

 

[nameless1100]

Bài của 816554 là hoàn toàn sai!Với 5 và 7 (5,7)=1 nhưng tích 5.7 không chia hết cho 2 và 3
Còn cứ cho rằng theo bạn là đúng thì từ (1),(2),(3) không suy ra được kết luận vì (2,2,6)=2
Ta nên chứng minh nó chia hết cho 3 và 8 vì (3,8)=1

 

[lelinh19lucky]

trời mấy người
tui giải nè
gọi 2 số nguyên tố a và b là
a=2k+1 ( k>=n)
b=2n+1 (a và b đều lá số nguyên tố lẻ)
(a^2-b^2)=(a+b)(a-b)=4(k+n+1)(k-n)
xét k, n cùng chẵn hay cùng lẻ => bt đã cho chia hết cho 8 do k-n chia hết cho 2
k,n là 1lẻ 1chẵn thì k+n+1 chia hết cho 2=> bt chia hết cho 8
bt chia hết ch 3 tui Cm trên đó rùi đó

 

[nameless1100]

:khi (98):Tui có dạng tổng quát của bài 1 nè:
Cho [TEX]a_1[/TEX]+[TEX]a_2[/TEX]+...+[TEX]a_n[/TEX]chia hết cho 30
\Leftrightarrow[TEX]a_1^5[/TEX]+[TEX]a_2^5[/TEX]+...+[TEX]a_n^5[/TEX]
Ai giải được mình cảm ơn 3 lần!
Còn không ai giải được thì cảm ơn ngược lại mình đó!

 

[quan8d]

:khi (98):Tui có dạng tổng quát của bài 1 nè:
Cho [TEX]a_1[/TEX]+[TEX]a_2[/TEX]+...+[TEX]a_n[/TEX]chia hết cho 30
\Leftrightarrow[TEX]a_1^5[/TEX]+[TEX]a_2^5[/TEX]+...+[TEX]a_n^5[/TEX]
Ai giải được mình cảm ơn 3 lần!
Còn không ai giải được thì cảm ơn ngược lại mình đó!

[tex]a^5 - a = a(a^4-1) = a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) + 5a(a-1)(a+1)[/tex] chia hết cho 30
suy ra : [tex]a^5 - a = 30k ( k \in Z ) [/tex]
[tex]\Rightarrow a_1^5+...+a_n^5 - a_1-...-a_n = (a_1^5-a_1)+...+(a_n^5-a_n) = 30.M [/tex]
[tex]\Rightarrow a_1^5+...+a_n^5 \vdots 30 [/tex]
Còn đảo thì tương tự như trên thôi .