[Toán 8]Tìm $x \in Z$: $x^4+ (x+1)^4 = y^2 +(y+1)^2$

[hoailinhminho]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x , y,z là các số nguyên # 0 .T/m :
$x^2$ - yz = a
$y^2$ - zx = b
$z^2$ - xy = c
C/m : ax + by + cz chia hết cho a+b+c
2. tìm nghiệm nguyên pt :
$x^4$ + $(x+1)^4$ = $y^2$ + $(y+1)^2$

 

[eye_smile]

cho x , y,z là các số nguyên # 0 .T/m :
$x^2$ - yz = a
$y^2$ - zx = b
$z^2$ - xy = c
C/m : ax + by + cz chia hết cho a+b+c

Ta có: $ax + by + cz = \left( {{x^2} - yz} \right)x + \left( {{y^2} - xz} \right)y + \left( {{z^2} - xy} \right)z$
$ = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = {\left( {x + y} \right)^3} - 3{x^2}y - 3x{y^2} + {z^3} - 3xyz$
$ = \left[ {{{\left( {x + y} \right)}^3} + {z^3}} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right)$
$ = \left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - z\left( {x + y} \right) + {z^2}} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right)$
$ = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + 2xy + {y^2} - xz - yz + {z^2}} \right) - 3xy\left( {x + y + z} \right)$
$ = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz} \right)$
Lại có $a + b + c = {x^2} - yz + {y^2} - xz + {z^2} - xy = {x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz$
\Rightarrow đpcm

 

[braga]

$\boxed{2}.$ Khai triển rồi đưa về phương trình :
$y(y+1)=x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x$
Nhận xét rằng với mọi $x$ nguyên thì $x(x+1)\geq 0$
Khi đó $$(x^{2}+x)(x^{2}+x+1)\leq (x^{2}+x+1)(x^{2}+x)+x(x+1)=x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x$$
Và $$(x^{2}+x+1)^{2}=x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x+1>x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x$$
Suy ra $$(x^{2}+x+1)(x^{2}+x)\leq y(y+1)<(x^{2}+x+1)^{2}$$
$$\Rightarrow (x^{2}+x+1)(x^{2}+x)=y(y-1)=x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x\Rightarrow x\in \left \{ 0;-1 \right \}$$

Vậy : $\boxed{(x;y)=(0;0);(0;-1);(-1;0);(-1;-1)}$