[Toán 8]Tìm nghiệm nguyên

[pro3182001]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình
a) $x^6+3x^2+1=y^4$
b) $2x^2-4y=10$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1. Xét trường hợp $x\ge 0$
Nếu $x=0$ thì $y=\pm 1$. Nếu $x=1$ thì không thỏa mãn.
Nếu $x> 1$ thì $x^6<x^6+3x^2+1<(x^3+1)^2$
Do đó với $x>1$ thì phương trình vô nghiệm.
Vậy ta chỉ có hai nghiệm $(x,y)=(0,-1),(0,1)$

 

[chaudoublelift]

Giải

Giải phương trình nghiệm nguyên: $2x^2-4y=10(1)$
Do $VP=10 \equiv 2 \pmod{4}$ \Rightarrow $2x^{2} \equiv 2 \pmod{4}$
\Rightarrow $x^{2} \equiv 1 \pmod{4}$ \Rightarrow $x=2k+1(k \in N)$
Do đó, $(1)$ \Leftrightarrow $2x^2-4y=10$
\Leftrightarrow $4y=2x^2-10$ \Leftrightarrow $2y=x^2-5$
\Leftrightarrow $2y=4k^2+4k-4$ \Leftrightarrow $y=2k^2+2k-2$
Vậy $(x,y)=(2k+1,2k^2+2k-2)$ với $k \in N$ thỏa mãn PT(1)

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2. Phương trình này vô số nghiệm với $x=2n+1$ và $y=2(n^2+n-1)$ bằng cách chia $2$ cả hai vế và xét tính chẵn lẻ cho $x$

 

[pro3182001]

Bài 1. Xét trường hợp $x\ge 0$
Nếu $x=0$ thì $y=\pm 1$. Nếu $x=1$ thì không thỏa mãn.
Nếu $x> 1$ thì $x^6<x^6+3x^2+1<(x^3+1)^2$
Do đó với $x>1$ thì phương trình vô nghiệm.
Vậy ta chỉ có hai nghiệm $(x,y)=(0,-1),(0,1)$

cho e hỏi tại sao không xét x<0 ạ .

 

[huynhbachkhoa23]

cho e hỏi tại sao không xét x<0 ạ .

Em để ý thấy nếu $(x,y)$ là nghiệm thì $(-x, y)$ cũng là nghiệm nên chỉ cần xét $x\ge 0$ hoặc $x\le 0$. Ở đây xét $x\ge 0$ là để dễ dàng kẹp lại hơn.