[Toán 8] Tìm GTNN

[manh550]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c >0
Tìm GTNN của S=$(1+\frac{2a}{3b})(1+\frac{2b}{3c})(1+\frac{2c}{3a})$

 

[lp_qt]

$$S=\left ( 1+\dfrac{2a}{3b} \right ).\left ( 1+\dfrac{2b}{3c} \right ).\left ( 1+\dfrac{2c}{3a} \right )
=\dfrac{(3a+2b)(3b+2c)(3c+2a)}{3a.3b.3c}
=\dfrac{(a+a+a+b+b)(b+b+b+c+c)(c+c+c+a+a)}{3a.3b.3c}
\ge \dfrac{5\sqrt[5]{a^3.b^2}.5\sqrt[5]{b^3.c^2}.5\sqrt[5]{c^3.a^2}}{27abc}=\dfrac{125}{27}$$

Khi $a=b=c$

 

[transformers123]

Áp dụng bđt Holder, ta có:

$S=(1+\dfrac{2a}{3b})(1+\dfrac{2b}{3c})(1+\dfrac{2c}{3a}) \ge (1+\sqrt[3]{\dfrac{2a}{3b}.\dfrac{2b}{3c}.\dfrac{2c}{3a}})^3 = (1+\dfrac{2}{3})^3 = \dfrac{125}{27}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$