[Toán 8] tìm GTNN

[thlleninh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm GTNN của :
$x^2+xy+y^2+3x+3y+2017$

Chú ý tiêu đề +gõ latex
Không được sử dụng nhiều icon

 

[microwavest]

--------------

Ta có: $A = x^2 + xy + y^2 + 3x + 3y + 2017$

\Leftrightarrow $2A = 2x^2 + 2xy + 2y^2 + 6x + 6y + 4034$

\Leftrightarrow $2A = (x + y)^2 + (x + 3)^2 + (y + 3)^2 + 4016$ \geq $4016$

Min $A = 2008$

 

[vipboycodon]

Ta có: $A = x^2 + xy + y^2 + 3x + 3y + 2017$

\Leftrightarrow $2A = 2x^2 + 2xy + 2y^2 + 6x + 6y + 4034$

\Leftrightarrow $2A = (x + y)^2 + (x + 3)^2 + (y + 3)^2 + 4016$ \geq $4016$

Min $A = 2008$

Dấu "=" xảy ra khi $x = -y$ , rồi $x = y = -3$ => Sai
A = $x^2+xy+y^2+3x+3y+2017$
= $x^2+2x+1+y^2+2y+1+x+y+xy+1+2014$
= $(x+1)^2+(y+1)^2+(x+1)(y+1)+2014$
= $(x-1)^2+2(x+1)\dfrac{y+1}{2}+(\dfrac{y+1}{2})^2+ \dfrac{3(y+1)^2}{4} + 2014$
= $(x+1+\dfrac{y+1}{2})^2+\dfrac{3(y+1)^2}{4}+2014 \ge 2014$
Dấu "=" xảy ra khi $x = y = -1$

 

[microwavest]

Cám ơn vipboycodon đã nhắc nhở, mình làm vậy được không nhỉ?

Biểu diễn theo x, ta có: $A = [x^2 + x(3+y)] +y^2 + 3y + 2017$

\Leftrightarrow $A = [x^2 + x(3+y)] + \dfrac{y^2}{4} + \dfrac{3y}{2} + \dfrac{9}{4} + \dfrac{3y^2}{4} + \dfrac{3y}{2} + \dfrac{8059}{4}$

\Leftrightarrow $A = [x^2 + 2.x.\dfrac{1}{2}(3+y)]+ \dfrac{1}{4}(3+y)^2 + \dfrac{3y^2}{4} + \dfrac{3y}{2} + \dfrac{3}{4} + \dfrac{8059}{4} - \dfrac{3}{4}$

\Leftrightarrow $A = [x^2 + 2.x.\dfrac{1}{2}(3+y)]+ \dfrac{1}{4}(3+y)^2 + \dfrac{3}{4}(y+1)^2 + 2014$

\Leftrightarrow $A = [(x + \dfrac{1}{2}(3+y)]^2 + \dfrac{3}{4}(y+1)^2 + 2014$ \geq $2014$

Vậy $Min$ $A$ = $2014$ khi $x = y = -1$

 

[buithinhvan77]

Dấu "=" xảy ra khi $x = -y$ , rồi $x = y = -3$ => Sai
A = $x^2+xy+y^2+3x+3y+2017$
= $x^2+2x+1+y^2+2y+1+x+y+xy+1+2014$
= $(x+1)^2+(y+1)^2+(x+1)(y+1)+2014$
= $(x-1)^2+2(x+1)\dfrac{y+1}{2}+(\dfrac{y+1}{2})^2+ \dfrac{3(y+1)^2}{4} + 2014$
= $(x+1+\dfrac{y+1}{2})^2+\dfrac{3(y+1)^2}{4}+2014 \ge 2014$
Dấu "=" xảy ra khi $x = y = -1$

Cách làm này cũng có vẻ phức tạp đấy!
Thêm cách nưa!
[TEX]4A = 4x^2 + 4xy + 4y^2 + 12x + 12y + 8068[/TEX]
[TEX]4A = [(2x)^2 + 2.2x.y + y^2 + 2.3(2x + y) + 9] +3(y^2 +2y + 1) + 8056[/TEX]
[TEX]4A = (2x + y + 3)^2 + 3(y + 1)^2 + 8056\geq 8056[/TEX]
[TEX]A \geq 2014 [/TEX]
Dẫu "=" khi y = -1; x = - 1
Kết luận: GTNN của A là 2014 <=> x = y = -1