[Toán 8]Tìm GTNN

[beconvaolop]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm GTNN biểu thức:
P=[TEX](2x+\frac{1}{x})^2+ (2y+\frac{1}{y})^2[/TEX] biết x,y không âm và x+y=1

 

[sam_chuoi]

Trả lời

Sử dụng bđt (a^2+b^2)>=1/2(a+b)^2, dấu = xảy ra khi a=b. Ta có P=4(x^2+y^2)+8+(1/x^2+1/y^2)>= 2(x+y)^2+8+1/2(1/x+1/y)^2=10+(x+y)^2/(2x^2y^2). Xét (x+y)^2/2(xy)^2 =1/2(xy)^2. Do x,y>0, dùng côsi ta được x+y=1>=2căn(xy),dấu = xảy ra khi x=y suy ra xy<=1/4 suy ra (xy)^2<=1/16 suy ra 1/2(xy)^2>=8. Vậy MinP=18 khi x=y=1/2.

 

[kakashi_hatake]

$P=(2x+\dfrac{1}{x})^2+(2y+\dfrac{1}{y})^2 \ge \dfrac{1}{2}.(2x+2y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})^2 \ge \dfrac{1}{2}(2+\dfrac{4}{x+y})^2=18 \\ P=18 \leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}$

 

[conga222222]

Tìm GTNN biểu thức:
P=[TEX](2x+\frac{1}{x})^2+ (2y+\frac{1}{y})^2[/TEX] biết x,y không âm và x+y=1

\[\begin{array}{l}
P = {(2x + \frac{1}{x})^2} + {(2y + \frac{1}{y})^2}\\
co.si\\
{\left( {2x + \frac{1}{x}} \right)^2} + 9 \ge 6\left( {2x + \frac{1}{x}} \right) = 12x + \frac{3}{x} + \frac{3}{x} \ge 2\sqrt {36} + \frac{3}{x} = 12 + \frac{3}{x}\\
TUONG.TU\\
{\left( {2y + \frac{1}{y}} \right)^2} + 9 \ge 12 + \frac{3}{y}\\
\to P + 18 \ge 24 + \frac{3}{x} + \frac{3}{y} \ge 24 + \frac{6}{{\sqrt {xy} }} \ge 24 + \frac{6}{{\frac{{x + y}}{2}}} = 36\\
\to p \ge 18\\
DAU = \leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}
\end{array}\]