[Toán 8] Tìm GTLN

[me0kh0ang2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho ba số dương a, b, c có a+b+c=1. Tìm GTNN của biểu thức:

$E=(a+\dfrac{1}{a})^2+(b+\dfrac{1}{b})^2+(c+\dfrac{1}{c})^2$

 

[casidainganha]

dựa theo giá trị tuyệt đối bạn nhé

Áp dụng hằng đẳng thức $a^2$+$b^2$+$c^2$\geqab+bc+ac ta có
E\geq (a+$\frac{1}{a}$)(b+ $\frac{1}{b}$ )+ (c+$\frac{1}{c}$)(b+$\frac{1}{b}$)+ (c+$\frac{1}{c}$)(a+$\frac{1}{a}$)
=ab+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$+$\frac{1}{ab}$+......

Mà $\frac{b}{a}$ +$\frac{a}{b}nhỏ nhất \Leftrightarrow a=b,ab+$\frac{1}{ab}$ nhỏ nhất \Leftrightarrowa=b
....lập luận tương tự ta có E nhỏ nhất \Leftrightarrow a=b=c mà a+b+c=1 nên a=b=c=$\frac{1}{3}$ lúc này bạn tự tính E.

Đấy là GTNN còn GTLN(thấy ở tiêu đề ghi thế) thì mình lười post nên gợi ý cho bạn được không?
Áp dụng $(a+b)^2$ lớn nhất \Leftrightarrow |a+b| lớn nhất
mà |a+b| \leq |a|+|b|
Lúc này bạn có tự làm nốt nhé
(hơi khó nhìn một chút nhưng mình vẫn không chỉnh được(yếu tin)

 

[congchuaanhsang]

$A=(a+\dfrac{1}{a})^2+(b+\dfrac{1}{b})^2+(c+\dfrac{1}{c})^2$

Cauchy - Schwarz: $A$ \geq $\dfrac{(a+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})^2}{3}$

$A$ \geq $\dfrac{(a+b+c+\dfrac{9}{a+b+c})^2}{3}=\dfrac{100}{3}$

$A_{min}=\dfrac{100}{3}$ \Leftrightarrow $a=b=c=\dfrac{1}{3}$

 

[0973573959thuy]

$E = (a + \dfrac{1}{a})^2 + (b + \dfrac{1}{b})^2 + (c + \dfrac{1}{c})^2$

$E = a^2 + b^2 + c^2 + \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} + 6$

○ $(a + b + c)^2 = 1 \le 3(a^2 + b^2 + c^2)$ (Theo Cauchy- Schwarz)

$\leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 \ge \dfrac{1}{3}$ (đẳng thức xảy ra $\leftrightarrow a = b = c = 1/3$)

○ $(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c})^2 \le 3(\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2})$ (theo Cauchy - Schwarz)

$(a + b + c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) \ge 3. \sqrt[3]{abc}. 3.\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}} = 9$ (theo Cauchy)

$\leftrightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{9}{a + b + c} = 9$

$ 9^2 \le (\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c})^2 \le 3(\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2})$

$\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} \ge 27$ (đẳng thức xảy ra $\leftrightarrow a = b = c = 1/3$)

$\rightarrow E \ge 6 + 27 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{100}{3}$

Đẳng thức xảy ra $\leftrightarrow a = b = c = 1/3$