[Toán 8] Tìm cực trị $x^3+y^3+2012xy$

[tuankp3]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 2 số x,y là số dương thỏa mãn : x+y=1.Tìm gt lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức [TEX]x^3[/TEX] + [TEX]y^3[/TEX] +2012xy
@minhtuyb: Xin xóa chữ "nguyên". Bạn chú ý cách đặt tên tiêu đề nhé!

 

[khaitien]

[TEX]x^3+y^3+ 2012 xy = (x+y) ( x^2+ y^2 -xy) + 2012 xy= x^2+y^2+2011 xy [/TEX]
= [TEX] (x+y) ^2 +2009 xy[/TEX]
Vì x,y là số nguyên nên 2009xy \geq 0 , [TEX](x+y)^2[/TEX] \geq0
\Rightarrow [TEX]x^3+y^3+ 2012 xy[/TEX]\geq0
x, y phải là số nguyên bạn ạ , vì không tồn tại 2 số nguyên dương nào có tổng bằng không cả .

~~> Đề bài là tổng bằng 1 nhé!

 

[maikhaiok]

[TEX]x^3+y^3+ 2012 xy = (x+y) ( x^2+ y^2 -xy) + 2012 xy= x^2+y^2+2011 xy [/TEX]
= [TEX] (x+y) ^2 +2009 xy[/TEX]
Vì x,y là số nguyên nên 2009xy \geq 0 , [TEX](x+y)^2[/TEX] \geq0
\Rightarrow [TEX]x^3+y^3+ 2012 xy[/TEX]\geq0
x, y phải là số nguyên bạn ạ , vì không tồn tại 2 số nguyên dương nào có tổng bằng không cả .

Chỗ mình bôi đỏ mong bạn xem lại
______________________________________________
MÌnh nghĩ đề bài này là cho x,y là 2 số nguyên ko âm...

Lời giải

Ta có hằng đẳng thức: ${(x + y)^3} = {x^3} + {y^3} + 3xy(x + y)$
Áp dụng vào biểu thức ta có: ${x^3} + {y^3} + 2012xy = {(x + y)^3} + 2009xy = 1 + 2009xy$

Do x,y là các số nguyên ko âm nên ta áp dụng BĐT cô si:
$1 + 2009xy \le 1 + 2009.\frac{{{{(x + y)}^2}}}{4} = \frac{{2013}}{4}$

$Max=\frac{{2013}}{4}$ xảy ra khi x=y=1/2 và hoán vị (Do x,y là số nguyên mà tổng bằng 1 nên ko thể x=y được)

Bài này ko có min hoặc chỉ có min=1 khi x=0;y=1 và hoán vị

 

[nguyenso2]

Chỗ mình bôi đỏ mong bạn xem lại
______________________________________________
MÌnh nghĩ đề bài này là cho x,y là 2 số nguyên ko âm...

Lời giải

Ta có hằng đẳng thức: ${(x + y)^3} = {x^3} + {y^3} + 3xy(x + y)$
Áp dụng vào biểu thức ta có: ${x^3} + {y^3} + 2012xy = {(x + y)^3} + 2009xy = 1 + 2009xy$

Do x,y là các số nguyên ko âm nên ta áp dụng BĐT cô si:
$1 + 2009xy \le 1 + 2009.\frac{{{{(x + y)}^2}}}{4} = \frac{{2013}}{4}$

$Max=\frac{{2013}}{4}$ xảy ra khi x=0;y=1 và hoán vị (Do x,y là số nguyên mà tổng bằng 1 nên ko thể x=y được)

Bài này ko có min hoặc chỉ có min=1 khi x=0;y=1 và hoán vị

mình không nghĩ như vậy vì không thể có bài toán nào mà không có min được, x hoặc y bằng 0 cũng không thỏa mãn điều kiện nguyên dương. Nhưng đúng là đề bài vô lý vì nếu x và y cùng nguyên dương thì không thể có tổng bằng 1 được. Do đó không thể giải được bài này

 

[kool_boy_98]

Chỗ mình bôi đỏ mong bạn xem lại
______________________________________________
MÌnh nghĩ đề bài này là cho x,y là 2 số nguyên ko âm...

Có lẽ bạn ấy thiếu, do đề bài ghi là Nguyên dương mà!

Hai số nguyên dương thì tổng làm sao mà bằng 1 được?

 

[minhtuyb]

Chỗ mình bôi đỏ mong bạn xem lại
______________________________________________
MÌnh nghĩ đề bài này là cho x,y là 2 số nguyên ko âm...

Lời giải

Ta có hằng đẳng thức: ${(x + y)^3} = {x^3} + {y^3} + 3xy(x + y)$
Áp dụng vào biểu thức ta có: ${x^3} + {y^3} + 2012xy = {(x + y)^3} + 2009xy = 1 + 2009xy$

Do x,y là các số nguyên ko âm nên ta áp dụng BĐT cô si:
$1 + 2009xy \le 1 + 2009.\frac{{{{(x + y)}^2}}}{4} = \frac{{2013}}{4}$

$Max=\frac{{2013}}{4}$ xảy ra khi x=0;y=1 và hoán vị (Do x,y là số nguyên mà tổng bằng 1 nên ko thể x=y được)

Bài này ko có min hoặc chỉ có min=1 khi x=0;y=1 và hoán vị

Xin fix lại đề ^_^.
Phần max làm tương tự như trên, khác chỗ dấu bằng khi $x=y=\frac{1}{2}$
Phần min: Dễ thấy $0< x,y\leq 1$. Suy ra: $xy>0\Rightarrow 1+2009xy>1$
Vậy khi biểu thức không có min?

 

[buithinhvan77]

Chỗ mình bôi đỏ mong bạn xem lại
______________________________________________
MÌnh nghĩ đề bài này là cho x,y là 2 số nguyên ko âm...

Lời giải

Ta có hằng đẳng thức: ${(x + y)^3} = {x^3} + {y^3} + 3xy(x + y)$
Áp dụng vào biểu thức ta có: ${x^3} + {y^3} + 2012xy = {(x + y)^3} + 2009xy = 1 + 2009xy$

Do x,y là các số nguyên ko âm nên ta áp dụng BĐT cô si:
$1 + 2009xy \le 1 + 2009.\frac{{{{(x + y)}^2}}}{4} = \frac{{2013}}{4}$

$Max=\frac{{2013}}{4}$ xảy ra khi x=0;y=1 và hoán vị (Do x,y là số nguyên mà tổng bằng 1 nên ko thể x=y được)

Bài này ko có min hoặc chỉ có min=1 khi x=0;y=1 và hoán vị

Hix bạn ui! Dấu "=" khi x = 0 ; y = 1 mà max = 2003/4 ư?
Bài này chắc chỉ có x, y không âm và x + y = 1 thui!
Vậy PP giải như trên, song max = 2013/4 <=> x = y = 1/2 mới đúng chứ?